Valores maximos y minimos de una funcion

Valor máximo y valor mínimo de una función
Si f es una función dada, entonces es un valor máximo relativo de f, si existe un intervalo abierto tal que y para , siendo x un valor del dominio dela función.

Si para toda x en el dominio de f, entonces es el valor máximo de f o máximo absoluto.

Similarmente, es un valor mínimo relativo de la función f, si existe un intervalo abiertotal que y para , con x en el dominio de f.

Si para toda x en el dominio de f, entonces se dice que es el valor mínimo de dicha función. También se llama mínimo absoluto.

Ejemplo:Considere una función f definida en un intervalo , cuya representación gráfica es la siguiente:




Note que , es un máximo relativo y es el máximo valor que toma la función en el intervaloen que está definida.

Similarmente, es un valor mínimo relativo y es el mínimo absoluto de la función en .
Teorema 2
Sea c un punto interior del dominio de una función f.
Si es unvalor máximo relativo de f y si existe entonces .

Prueba: al final del capítulo.

Ejemplo:
Considere la función f definida por



Su representación gráfica es la siguiente:Puede observarse que cuando x toma el valor de entonces la función tiene un valor máximo. En este caso es precisamente el vértice de la parábola con ecuación: .

Según el teorema anterior debecumplirse que es igual a cero.

En efecto, como , al sustituir x por -2 se obtiene que , que era lo que quería comprobarse.
Teorema 3
Sea c un punto interior del dominio de una funciónf. Si es un valor mínimo relativo de f y si existe, entonces .

La demostración es similar a la del teorema anterior.

Ejemplo:

Considere la función f definida por:

Surepresentación gráfica es la siguiente:



Note que la función f tiene un valor mínimo en dado por . El punto es el vértice de la parábola con ecuación .

De acuerdo con el teorema debe cumplirse...