Maximos Y Minimos Multivariables

VALORES EXTREMOS
Máximos, Mínimos y Punto
de Silla

VALORES EXTREMOS
Función de una variable

Función de varias una variables

Máximos y Mínimos

EXTREMOS ABSOLUTOS DEf(x,y)

Una función f(x,y) tiene un valor máximo absoluto en su dominio
D perteneciente a los reales, si existe un punto Q(xo,yo) dentro
del dominio, para el cual se cumple que f(xo,yo)> f(x,y) para
cualquier par ordenado (x,y) en D.
Una función f(x,y) tiene un valor mínimo absoluto en su dominio
D perteneciente a los reales, si existe un punto Q(xo,yo) dentro
deldominio, para el cual se cumple que f(x,y) > f(xo,yo) para
cualquier par ordenado (x,y) en D.

EXTREMOS RELATIVOS DE f(x,y)

Si f es una función de x y y, entonces f tiene unmáximo relativo a (a,b) si f(a,b) ≥ f(x,y) para toda
(x,y) en una pequeña cercanía de (a,b).
Un mínimo relativo se define en manera parecida
f(x,y) ≥ f(a,b) .
f tiene un punto de sillaen (a,b) si f tiene allí un
mínimo relativo a lo largo de un corte y un máximo
relativo a lo largo de un otro corte.

PUNTO DE SILLA

Máximos y Mínimos
• La función que seilustra tiene un mínimo
relativo a (0,0), un
máximo relativo a (1,1),
y puntos de silla a (1,0)
y (0, 1).

Calculo de Máximos y Mínimos

En los casos que se estudiaran, todosextremos relativos y
puntos de silla que no sean en la frontera del dominio de f se
deben a puntos críticos, que son las soluciones de las
ecuaciones
fx(x,y) = 0
y
fy(x,y) = 0.
Prueba dela segunda derivada para funciones de dos
variables.
Si f(x,y) es una función de dos variables, y (a,b) es un punto
crítico de f. (Esto es, fx(a,b)=0 y fy(a,b)=0.) Sea

Criteriode Decisión

Sea

D =fxx (a,b)fyy(a,b)-[fxy(a,b)]2
Entonces:
f tiene un mínimo relativo en (a,b) si D>0 y fxx(a,b)>0,
f tiene un máximo relativo en (a,b) si D>0 y fxx(a,b)