Maximos y minimos

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Criterio de la segunda derivada para establecer los valores máximos y
los valores mínimos de una función
Además de proporcionar información sobre la concavidad de la gráfica deuna función, la segunda derivada permite establecer si un punto crítico es un valor máximo o un valor mínimo.

El siguiente teorema se refiere a este segundo aspecto.Teorema
Sea f una función con dominio D.

Si está definida para donde y si con entonces:
a.
es un valor máximo relativo de f si se cumple que

b. es un valor mínimorelativo de f si se cumple que


Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplos:

Utilizando el teorema anterior vamos a determinar los valores máximos y los valoresmínimos de las funciones cuyas ecuaciones son:
1. ,

Note que la función f no está definida en

La derivada de f está dada por ,

Los valores críticos de f seobtienen cuando . En este caso, si y solo si , ó .

Ahora, la segunda derivada de f es

Vamos a evaluar en y en

a. ; como entonces es un valor mínimo relativo de f.b.
; como entonces es un valor máximo relativo de f.
Gráficamente se tiene en el intervalo


2.

Se tiene que

La primera derivada de g está dada porComo cuando y cuando entonces estos son los valores críticos de g.

La segunda derivada de g es

Evaluando en se tiene que
que es mayor que cero, por lo que es unvalor mínimo relativo de g.

Observe que no puede evaluarse en pues hace cero el denominador por lo que para este valor crítico debe utilizarse el criterio de la primeraderivada.

Analizando se obtiene que para y para por lo que al no existir cambio de signo resulta que no es ni máximo ni mínimo. El gráfico de g se muestra a continuación.
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