MC_sistemas_ecuaciones_lineales

Práctica: Métodos de resolución de
ecuaciones lineales.
Objetivo: Aplicar dos técnicas de resolución de sistemas
de ecuaciones lineales:
Un método finito basado en la descomposición LU de
la matriz de coeficientes A
El método iterativo de Gauss-Seidel.
El método iterativo de Jacobi.
Método finito basado en la descomposición QR de la
matriz de coeficientes A (ampliación)
Matemáticas para laComputación
Emiliano Torres

Método de descomposición LU
La descomposición LU de una matriz cuadrada A es aquella
que escribe A como el producto de dos matrices triangulares, L
y U, tales que L es triangular inferior y U es triangular
superior.
La descomposición LU se puede utilizar para resolver sistemas
de ecuaciones Ax=b. Si A=LU, se puede reescribir la expresión
anterior como LUx=b. Si llamamos za la matriz de n filas
resultado del producto de las matrices Ux, se tiene Lz=b.
Se plantea un algoritmo para resolver el sistema de ecuaciones
empleando dos etapas:
1º obtenemos z aplicando
progresiva (1) a Lz=b.

el

algoritmo

de

sustitución

i −1

(1) zi = (bi − ∑ lij z j ) / lii (i = 1,2,..., n)
j =1

2º obtenemos x aplicando el algoritmo de sustitución regresiva
n
(2) a Ux=z

(2) xi = (zi −

∑u

j =i +1

ij

x j ) / uii (i = n, n − 1,...,1)

Algoritmo de factorización LU
Input n, A
For k=1,2,...,n do
Especificar un valor para lkk o ukk (lkk=1 factorización de Doolittle,
ukk=1 factorización de Crout)
k −1
Calcular el otro término mediante: lkk u kk = akk − ∑ lks u sk
s =1
For j=k+1, k+2, ..., n do
k −1

ukj = (akj − ∑ lks u sk ) / lkk
End
s =1
For i=k+1, k+2, ..., n do
k −1

lik= (aik − ∑ lis u sk ) / ukk

End
End
Output L, U

s =1

Práctica
1. Método de descomposición LU:
Emplear la función intrínseca de MatLab [l,u,p]=lu(A)
para obtener la factorización LU de la matriz de
coeficientes.
Programar el algoritmo de sustitución progresiva mediante
una función z=suspro(l,b)
Programar el algoritmo de sustitución regresiva mediante
la función x=susreg(u,z)
Escribir unamacro que utilice las funciones anteriores para
resolver los sistemas de ecuaciones de la práctica.

Método de Gauss-Seidel
Es un método iterativo que resulta ser un método bastante
eficiente.

De la ecuación 1 despejamos x1, de la ecuación 2 despejemos
x2, …, de la ecuación n despejemos xn . Esto nos da el siguiente
conjunto de ecuaciones:

Método de Gauss-Seidel
El conjunto de ecuaciones formanlas fórmulas
iterativas. Para comenzar el proceso iterativo, se
da el valor de cero a las variables x2, .., xn ; esto da
un primer valor para x1.
Se sustituye el valor de x1 en la ecuación 2, y las
variables siguen teniendo el valor de cero. Esto da
el siguiente valor para x2:
Estos valores de x1 y x2, los sustituímos en la
ecuación 3, mientras que x3,..., xn siguen teniendo el
valor de cero; yasí sucesivamente hasta llegar a la
última ecuación. Con este primer paso del proceso
iterativo se obtiene la primera lista de valores para
las incógnitas:

Método de Gauss-Seidel
Se vuelve a repetir el proceso sustituyendo estos
últimos datos en vez de ceros como al inicio, y se
obtiene una segunda lista de valores para cada una
de las incógnitas:
Ahora se puede calcular los errores aproximadosrelativos, respecto a cada una de las incógnitas:
El proceso se vuelve a repetir hasta
que el error sea menor que una
cota prefijada.

Ejemplo del método de
Gauss-Seidel
Para aproximar la solución del sistema hasta que el error sea
menor del 1% primero Despejamos las incógnitas:

Despejamos las incógnitas:
Comienza el proceso iterativo, sustituyendo los valores de
x2=x3=0 en la primera ecuación,para calcular el primer
valor de x1=2,66667
Se sustituye x1=2,66667 y x3=0 en la segunda ecuación,
para obtener x2= -2.82381
Se sustituye x1=2,66667 y x2= -2.82381 en la tercera
ecuación, para obtener x3= 7.1051

Ejemplo del método de
Gauss-Seidel
Puesto que todavía no podemos calcular ningún error
aproximado, repetimos el proceso pero ahora con los últimos
datos obtenidos para las incógnitas....