ME LA PELA

2.10. Teorema de Stokes.
El Teorema de Stokes establece que el cálculo de la integral de línea del campo
vectorial F en la dirección tangencial de la curva C, es igual a la integral sobre lasuperficie S de la circulación del campo F alrededor de la frontera, en la dirección de la
componente normal unitaria a la superficie, siendo la curva C es una curva orientada
positivamente, de talmanera que es la frontera de la superficie orientada positivamente
S,

Teorema. Sea S una superficie orientada, suave a trozos, limitada por la curva simple
cerrada C, suave a trozos, con orientaciónpositiva. Sea F ( x, y, z ) un campo vectorial
cuyas componentes tienen primeras derivadas parciales continuas en alguna región
abierta D ⊆ ℜ3 que contiene a S. Entonces

∫ F ( x, y, z ) ⋅ dr = ∫∫( ∇ × F ) ⋅ nds

C

S

EJEMPLO 68. Utilice el teorema de Stokes para evaluar la integral de superficie del
campo vectorial F ( x, y, z ) = ( yz , xz , xy ) a través de la superficie dada por laparte del
paraboloide z = 9 − x 2 − y 2 que esta por arriba del plano z = 5 , orientado hacia arriba.
Solución. La curva frontera de esta superficie esta dada por la circunferencia resultanteentre el paraboloide z = 9 − x 2 − y 2 y el plano z = 5 , por lo cual la ecuación de este
círculo viene dado por x 2 + y 2 = 4 , z = 5 . Una parametrización para esta curva C viene
dada por la funciónvectorial g : [ 0, 2π ] → ℜ3 / g ( t ) = ( 2 cos ( t ) , 2sen ( t ) ,5 )

∫∫ ( ∇ × F ) ⋅ nds = ∫ F ( x, y, z ) ⋅ dr
S

C

= ∫ yzdx + xzdy + xydz
C

( 2sen ( t ) 5 ( −2sen ( t ) ) + 2cos ( t )5 ( 2cos ( t ) ) + 2cos ( t ) ( 2sen ( t ) ) ( 0 )) dt
= ∫ ( −20sen ( t ) + 20cos ( t ) ) dt
=∫

2π

0

2π

2

2

0

2π

= 20 ∫ cos ( 2t ) dt
0

= 10  sen ( 2t ) 


=02π
0

Figura 69. Superficie del Ejemplo 68.

EJEMPLO 69. Utilice el teorema de Stokes para evaluar la integral de superficie del

campo vectorial F ( x, y, z ) = ( zx, x 2 + y 2 , z 2 − y 2...