Mecánica De Lagrange y Hamilton

Mec´nica de Lagrange y Hamilton
a
1.

C´lculo de variaciones
a

Para dar una formulaci´n general de la din´mica es necesario emplear el concepto
o
a
matem´tico de funcional que describiremos sin demasiado detalle matem´tico.
a
a
Comencemos con un ejemplo: Supongamos que queremos determinar la curva
y = y (x) en el plano X − Y que conecta dos puntos (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) y a lolargo
de la cual la distancia es m´
ınima. La distancia entre dos puntos ser´
a
2

1 + y 2 dx

S=

(1.1)

1

La cantidad S es un n´mero que se asigna a cada una de las posibles funciones
u
y (x). No es por tanto una funci´n sino una funcional S [y ] que asigna a cada
o
funci´n y (x) un n´mero real.
o
u

1..1

Funcionales integrales

Nos ocuparemos aqu´ de las funcionales dela siguiente forma
ı
t2

A[q, q ] =
˙

F (q, q, t)dt
˙

(1.2)

t1

A asigna un n´mero a cada funci´n q (t) definida en un intervalo [t1 , t2 ].
u
o

1..2

Principio variacional

La gran semejanza que las funcionales tienen con las funciones sugiere inmediatamente la idea de extender a aquellas el c´lculo de m´ximos y m´
a
a
ınimos o, m´s gena
eralmente, de puntosestacionarios. De ello se ocupa una rama de las matem´ticas
a
conocida como c´lculo de variaciones.
a
Diremos que una funci´n q (t) sufre una variaci´n δq si cambia a q = q + δq . Nos
o
o
ˆ
limitaremos a variaciones que se anulen en los extremos del intervalo de integraci´n.
o
Es decir
δq (t1 ) = δq (t2 ) = 0
(1.3)
1

2

Cap´
ıtulo 4

q y q son por tanto trayectorias pr´ximas queconectan los puntos (t1 , q (t1 )) y
ˆ
o
(t2 , q (t2 )).
La variaci´n de q induce una variaci´n en q de forma que
o
o
˙
d
δq
dt
Es pues natural definir la variaci´n de la funcional A como:
o
δq =
˙

(1.4)

t2

δA =

[F (q + δq, q + δ q, t) − F (q, q, t)]dt
˙
˙
˙

(1.5)

t1

y por tanto

t2

δA =
t1

∂F
∂F
δq +
δ q dt
˙
∂q
∂q
˙

(1.6)

Teniendo en cuenta(1.4), podemos hacer la integraci´n por partes siguiente
o
t2
t1

∂F
δ qdt =
˙
∂q
˙

Utilizando (1.3)

t2
t1
t2
t1

∂F d(δq )
∂F
dt =
δq |t2 −
t1
∂ q dt
˙
∂q
˙
t2

∂F
δ qdt = −
˙
∂q
˙

t1

d ∂F
dt ∂ q
˙

t2
t1

d ∂F
dt ∂ q
˙

δ qdt

δ qdt

(1.7)

Substituyendo en (1.6)
t2

δA =
t1

1..3

∂F
−
∂q

d ∂F
dt ∂ q
˙

δ qdt

(1.8)Ecuaciones de Euler-Lagrange

Para que A sea extremal y por tanto δA = 0 para todas las variaciones δq es
necesario que se anule el integrando y por tanto
∂F
−
∂q

d ∂F
dt ∂ q
˙

(1.9)

que se conoce como ecuaci´n de Euler-Lagrange. Se trata de una ecuaci´n difereno
o
cial de segundo orden en la que q es la variable dependiente y t la independiente.
La soluci´n general depender´ dedos constantes arbitrarias que se fijan de modo
o
a
que q (t1 ) = q1 y q (t2 ) = q2 .
En general utilizaremos funcionales de varios argumentos qj , qj . La condici´n
˙
o
de punto estacionario es entonces:
∂F
−
∂qj

d ∂F
dt ∂ qj
˙

j = 1, 2....n

es decir, un conjunto de n ecuaciones diferenciales de segundo orden

(1.10)

Mec´nica de Lagrange y Hamilton
a

3

ejemploVolvamos, por ejemplo, al caso de la distancia entre dos puntos, que tal como
vimos en (1.1) es:
t2

1 + y 2 dx

S=
t1

por tanto las ecuaciones de uker Lagrange son:
∂F
−
∂q

d ∂F
dx ∂ q
˙

F=

1+y2

donde
de forma que
y

d
dx
y por tanto

1+y2
y
1+y2

=0

= cte

es decir
y =a
de forma que
y = ax + b
la distancia mas corta entre dos puntos corresponde aunirlos por una recta

2.
2..1

Formulaci´n lagrangiana para sistemas poteno
ciales
Coordenadas generalizadas

Dado un sistema de N part´
ıculas, sus posiciones quedar´n determinadas por 3N
a
coordenadas
ri = (xi , yi , zi )
(2.1)
i : 1...N

(2.2)

Si el sistema tiene n grados de libertad bastar´n n ≤ 3N coordenadas gena
eralizadas qj para describirlo.
ri = ri (q1 , q2 ....qn...