Mecánica de lagrange

EJEMPLO 7-1 Un anillo pequeño de masa m desliza sin roce a lo largo de un plano inclinado un ángulo α con la horizontal como se muestra en la figura. Una partícula de masa M cuelga desde el anillo, suspendida por un cable inextensible, de masa despreciable y longitud l. Se estudiará el movimiento utilizando ecuaciones de Lagrange. LAGR01 Desloge Chp 44 SOLUCION a) Cinemática Sistema de 2 G.L: seutilizará el ángulo θ como coordenada generalizada para describir la posición angular del cable y η para describir la posición del anillo. La velocidad de m es:

α

m

l

M

η α
m

vm = ηeη &
La velocidad de M es:

θ
& v M = vm + v M / m = ηeη + l θ eθ &
l

eθ
b) Ecuaciones de Lagrange

M
d  ∂ L(q,q,t )  ∂ L(q,q,t ) & & = 0  ∂θ  − &  dt  ∂θ

eη

d  ∂ L(q,q,t ) ∂ L(q,q,t ) & & = 0  ∂η − dt  ∂η & 
Energía Cinética:

T = Tm + TM = 1 1 & & m η 2 + M (η e η + l θ e θ ) • (η e η + l θ e θ ) = & & & 2 2 1 1 & = m η 2 + M η 2 + l 2 θ 2 + 2η lθ cos (θ + α ) = & & & & 2 2 1 1 & = (m + M ) η 2 + M l l θ 2 + 2 η θ cos (θ + α ) & && 2 2 =

(

)

(

)

Energía Potencial:

V = Vg m + Vg M = = − mg η sin α − Mg (η sin α + l cos θ ) = = − (m + M )g ηsin α − Mg l cos θ
CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM - Cap 7 Dinámica de Lagrange- Ejemplos Ej 7-1

Lagrangiano

L = T−V =

1 & (m + M ) η 2 + 1 M l l θ 2 + 2 η θ cos (θ + α ) + (m + M )g η sin α + Mg l cos θ & && 2 2

(

)

∂L & = (m + M ) η + M l θ cos(θ + α ) & ∂η & d ∂ L & = (m + M ) η + M l && cos(θ + α ) − M l θ 2 sin(θ + α ) θ && dt  ∂η   & ∂L = (m + M )g sin α ∂η ⇒ & (m +M ) η + M l && cos(θ + α ) − M l θ 2 sin(θ + α ) − (m + M )g sin α = 0 θ &&

∂L & & = M l (l θ + η cos(θ + α )) & ∂θ d ∂ L = M l (l && + && cos(θ + α ) − ηθ sin(θ + α )) θ η && dt  ∂ θ   & ∂L = M l (− η θ sin (θ + α )) − Mg l sin θ && ∂θ ⇒ l && + && cos(θ + α ) + g sin θ = 0 θ η
Estas son las ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema.

Supóngase una solución del tipo θ=cte.Reemplazando en la primera Ec.del movimiento:

(m + M ) && − (m + M )g sin α = 0 η
η = g sin α &&

⇒

La solución es posible si m desciende con aceleración constante. Reemplazando en la segunda EDM:

g sin α cos(θ + α ) + g sin θ = 0
Nótese que θ =−α es solución para esta ecuación. −

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Ej 7-2

Supóngase que enla situación descrita en la solución anterior, el movimiento de M es ligeramente perturbado según un ángulo β como se muestra en la figura. Se tiene entonces:

η α
m

vm = ηeη & & & v M = v m + v M / m = η e η + l β e β ≈ (η − l β ) e η & &
l
Re-escribiendo las ecuaciones de Lagrange se tiene:

α
eβ
β

T = Tm + TM = 1 1 & 2 = m η 2 + M (η − l β ) = & & 2 2 1 1 & = (m + M ) η 2 + M ll β 2 − 2 η β & && 2 2

M

(

)

V = Vg m + Vg M = = − mg η sin α − Mg (η sin α + l cos (α + β )) = = − (m + M )g η sin α − Mg l cos (α + β ) L = T−V = 1 & (m + M ) η 2 + 1 M l l β 2 − 2 η β + (m + M )g η sin α + Mg l cos(α + β ) & && 2 2

(

)

∂L & = (m + M ) η − M l β & ∂η & d ∂ L && = (m + M ) η − M l β && dt  ∂η   & ∂L = (m + M )g sin α ∂η ⇒ M && l β − g sin α = 0 (m + M )η && −

∂L & & = M l (l β − η) & ∂β ∂L = − Mg l sin (α + β ) ∂β

d ∂ L && η = M l (l β − && ) & dt  ∂β  

&& η ⇒ l β − && + g sin(α + β ) = 0

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Ej 7-3

Eliminando el término en η entre ambas ecuaciones, se tiene:

m && l β + g [sin(α + β ) − sin α ] = 0 (m + M ) pero sin(α + β ) − sin α = sin α cos β+ sin β cos α − sin α ≈ sin α + β cos α − sin α = β cos α ⇒ o m && l β + g cos αβ = 0 (m + M )

) &&  (m + M g cos α  β = 0 β+  l  m 
Que corresponde a la ecuación del movimiento de un oscilador simple con frecuencia:

ω2 =

(m + M ) g cos α
m l α

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Ej 7-4

EJEMPLO 7-2 En la figura se muestra una...