Mecanica clasica

Apuntes de Mecánica Clásica
Fernando O. Minotti 2do cuatrimestre de 2010

Índice general
1. Mecánica de Newton 1.1. Transformación de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Sistema de varias partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Teorema del Virial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Mecánica analítica 2.1. De…niciones básicas y notación . . . . .. . . . . . . . 2.2. Principio de los trabajos virtuales (D ’ Alembert) . . . 2.3. Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Partículas en campos electromagnéticos . . . . 2.4. Principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Principio de Maupertuis . . . . . . . . . . . . 2.5. Invarianza de las ecuaciones de Lagrange y simetrías 2.5.1. Teorema de Noether . . . .. . . . . . . . . . 2.6. Acción como función de las q´s . . . . . . . . . . . . 3. Ecuaciones canónicas de Hamilton 3.1. Transformaciones canónicas y corchetes de Poisson 3.1.1. Transformaciones canónicas in…nitesimales . 3.1.2. Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 4 8 11 11 13 15 20 21 24 26 29 32 34 37 39 40 42

4. Ecuación de Hamilton-Jacobi 47 4.1. Variables ángulo-acción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.2. Invariantes adiabáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5. Mecánica relativista 5.1. Cinemática relativista . . . . . 5.1.1. Cuadrivectores . . .. . 5.2. Dinámica relativista . . . . . . 5.2.1. Leyes de conservación en 1 . . . . . . . . . . . . . . . sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de varias partículas . . . . 55 55 59 63 68

ÍNDICE GENERAL

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5.2.2. Desintegración de partículas . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.2.3. Choque de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6. Fuerzascentrales 75 6.1. Problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.2. Choque elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.3. Dispersión (Scattering) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7. Pequeñas oscilaciones 7.1. Modos normales . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Oscilaciones de sistemas aislados (moléculas) 7.3. Oscilaciones forzadas yamortiguadas . . . . 7.4. Oscilaciones no lineales en una dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 99 100 101 107

8. Cuerpo rígido 110 8.1. Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.1.1. Matrices de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 8.1.2. Ángulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 114 8.2. Dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8.2.1. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8.2.2. Teorema de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 8.2.3. Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 8.2.4. Ejes principales del tensor de inercia . . . . . . . . . . 123 8.3. Ecuaciones de Euler . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 8.4. Movimiento del cuerpo sólido libre . . . . . . . . . . . . . . . 127 8.4.1. Construcción de Poinsot . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 8.4.2. Otra representación geométrica . . . . . . . . . . . . . 129 8.4.3. Estabilidad de la rotación alrededor de los ejes principales129 8.4.4. Elipsoide con simetría de revolución . . . . . . . . . . . 131 8.5.Movimiento de trompos y giróscopos . . . . . . . . . . . . . . 134 8.5.1. Trompo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 8.5.2. Estabilidad del trompo vertical . . . . . . . . . . . . . 140 8.5.3. Giróscopo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Capítulo 1 Mecánica de Newton
La mecánica de Newton (también llamada mecánica vectorial) se basa en sus tres leyes...