Mecanica Cuantica - Introducción

Introducción a la Mecánica Cuántica

Características de la Mecánica Cuántica
No hay consenso general

Niels Bohr: “Si no está confundido por la física cuántica, entonces no la ha entendido”.

Richard Feynman: ”Creo que puedo decir con certeza que nadie entiende la mecánica cuántica”.

La Ecuación de Schrödinger
Mecánica Clásica Mecánica Cuántica

(1) Mecánica Clásica:

x( t ) m
oV (x )

F ( x, t )

x
x(t )

x(t )
dx v= dt dv a= dt

p = mv 1 2 T = mv 2
F = ma

Condiciones Iniciales:

d 2x F = ma = 2 dt
∂V F =− ∂x

v(0) = v0 , x(0) = x0

V (x )

(2) Mecánica Cuántica

m
V (x )

x
Función de Onda

x( t )

Ψ ( x ,t )

F = ma
x( 0 ) v( 0 ) x( t )

h 2 ∂ 2Ψ ∂Ψ ih =− + VΨ 2 2m ∂x ∂t

Ecuación de Schrödinger

Ψ ( x ,0 )

Ψ ( x ,t )h h= = 1.054572 × 10 −34 J ⋅ s 2π

El Principio de Incertidumbre
La longitud de onda de Ψ se relaciona con el momento lineal de la partícula por la fórmula de de-Broglie:

p=
h σ xσ P ≥ 2

h

λ

=

2πh

λ

Principio de Incertidumbre

Interpretación Estadística ¿Qué es la Función de onda?

Ψ ( x ,t )

Interpretación estadística de Born:

Ψ ( x ,t )

2

Da laprobabilidad de encontrar la partícula en

El punto x, al tiempo t o más precisamente,

∫ Ψ ( x ,t )
a

b

2

dx =

Probabilidad de encontrar la partícula entre a y b al tiempo t.

Ψ ( x ,t )

2

a

b A

B

C

x

a

b

El área sombreada representa la probabilidad de encontrar la partícula entre a y b al tiempo t . Es más probable que la partícula se encuentrerelativamente más cerca de A que de B.

La interpretación estadística introduce cierta indeterminación en la mecánica cuántica.

Mecánica cuántica ofrece información estadística sobre posibles resultados.

Normalización

Ψ ( x ,t )

2

Densidad de Probabilidad de encontrar la partícula en el punto x, al tiempo t.

ρ( x )

−∞

∫ Ψ ( x ,t )

∞

2

dx = 1
Ψ ( x, t )

Constantecompleja

∂Ψ h 2 ∂ 2Ψ ih =− +V Ψ 2 ∂t 2 m ∂x

AΨ ( x, t )

Escoger una constante que cumpla esta ecuación
Normalización

lim x → ±∞ Ψ ( x , t ) = 0 Normalizable

Todas las variable dinámicas clásicas se pueden expresar en términos de momento y posición. Por ejemplo Energía cinética:

Momento Angular: Variable dinámica clásica

1 p2 T = mv 2 = 2 2m r r r r r L = r × mv = r × p
OperadorCuántico

∂ Q( x, −ih ) Q ( x, p ) ∂x ∂ ⎞ * ⎛ Q( x, p) = ∫ Ψ Q ⎜ x, −ih ⎟Ψdx ∂x ⎠ ⎝
h2 ∂2Ψ T =− Ψ * 2 dx 2m ∫ ∂x

La ecuación de Schrödinger

•

El potencial a veces no depende del tiempo, y la dependencia de ψ con el tiempo y el espacio se puede separar::

•

dividir por ψ(x) f(t):

El lado izquierdo depende solo de t, y el derecho solo de x. Por lo tanto, cada lado = constanteLa ecuación de autovalores de Schrödinger
• • • Integramos en ambos lados: donde C es una constante de integración (suponer cero). Por lo tanto:

La solución de la partícula libre: en que f(t) = e -iω t, así que: ω = B / ħ, lo que significa que B = E ! Multiplicando por ψ(x), la ecuación de Schrödinger solo dependiente del espacio:

La ecuación de Schrödinger estacionaria
ˆ Hψ = Eψdonde:

h2 ∂ 2 ˆ H =− +V 2 2m ∂x

Es el operador Hamiltoniano.

Valor medio
• Si medimos una magnitud repetidas veces, o medimos un conjunto grande de partículas, obtenemos el promedio de esa magnitud. Llamado “valor medio” x o “esperanza”. El valor medio de la posición x es:

x = P x1 + P2 x2 + L + PN xN = 1
Para una variable continua:

∑P x
i i

i

x = P ( x) x dx
O bien:

∫

x= Ψ ( x)Ψ * ( x) x dx =

∫

∫

Ψ * ( x) x Ψ ( x) dx

Para cualquier función de x, por ejemplo g(x):

g ( x) =

∫

Ψ * ( x) g ( x) Ψ ( x) dx

La partícula en la caja
• La partícula de masa m confinada a moverse en la caja de potencial constante. • Fuera de la caja el potencial es infinito
0 L x

• La función ψ debe ser a cero donde el potencial es ∞. • Dentro de la caja V=0...