Mecanica De Fluidos

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Cap´ ıtulo 8

An´lisis Dimensional y Semejanza a
Dado que el n´mero de problemas que se puede resolver en forma puramente anal´ u ıtica es peque˜o, n la gran mayor´ requiere alg´n grado de resultados emp´ ıa u ıricos o experimentales. Lo anterior es particularmente cierto en el ´mbito de la mec´nica de fluidos, cuyo desarrollo ha dependido a a fuertemente de resultados experimentales. Porotro lado los resultados obtenidos en forma experimental deben ser lo m´s generales posibles y extrapolables a situaciones fuera de las condia ciones “ideales” en las que se realizaron. El an´lisis dimensional ofrece un m´todo para reducir a e problemas f´ ısicos complejos a su forma funcional mas simple antes de obtener una respuesta cuantitativa acerca del problema. Permite, por lo tanto, teneruna visi´n general del problema o y las variables (adimensionales) relevantes involucradas. En el coraz´n del an´lisis dimensional se encuentra el concepto de similitud o semejanza. En o a t´rminos f´ e ısicos, la similitud se refiere a alguna equivalencia entre dos fen´menos diferentes. o Por ejemplo, bajo algunas condiciones particulares hay una relaci´n directa entre las fuerzas o que act´ansobre un avi´n de tama˜o real y aqu´llas que act´an sobre un modelo a escala que u o n e u se prueba en el t´nel de viento de un laboratorio. La pregunta es naturalmente, cuales son u esas condiciones que hacen equivalente el estudio y extrapolables los resultados de un modelo a escala. En t´rminos matem´ticos, la similitud se refiere a una transformaci´n de variables que e a o llevan a una reducci´nen el n´mero de variables independientes que especifican un problema. o u Aqu´ la pregunta natural es, qu´ tipo de transformaci´n es necesaria hacer y en cuanto se pueden ı e o reducir el n´mero de variables independientes. El an´lisis dimensional es una herramienta que u a responde ´stas preguntas. Su utilidad principal radica en la capacidad de representar en forma e m´s reducida la formafuncional de relaciones f´ a ısicas involucradas en un fen´meno dado. Un o problema que en un principio puede parecer complejo, puede a veces resolverse con un esfuerzo peque˜o a trav´s del an´lisis dimensional. n e a Como ejemplo de lo anterior consideraremos el problema de determinar la ca´ de presi´n por ıda o unidad de largo ∆pl , que se produce a lo largo de la tuber´ lisa por efecto de lafricci´n. Dentro ıa o de las variables geom´tricas y f´ e ısicas que se esperar´ que influyeran en la ca´ de presi´n se ıa ıda o encuentra el di´metro de la tuber´ la velocidad del flujo y la viscosidad y densidad del fluido. a ıa, Se puede establecer por lo tanto una relaci´n funcional f de la siguiente forma: o ∆pl = f (D, ρ, µ, V ) donde f es la funci´n a determinar experimentalmente. El desarrollo deexperimentos siso tem´ticos para encontrar f implicar´ necesariamente el medir ∆pl variando solo una de las a ıa variables a la vez, la velocidad por ejemplo, y manteniendo las dem´s constantes. Este proceder a deber´ repetirse an´logamente para cada una de las variables obteniendo una gran cantidad ıa a de informaci´n la cual se puede representar gr´ficamente como se muestra en el gr´fico 8.1. o a a88

Extraer de esta informaci´n la deseada funci´n f que relacione las variables independientes con o o la dependiente es, incluso para este caso sencillo, pr´cticamente imposible. Adem´s de esto las a a dificultades experimentales, como por ejemplo, variar la densidad manteniendo la viscosidad constante, no son despreciables e incluso pueden llegar a ser imposibles de solucionar.
Dpl DplD,r,m= constante V
(a)

V,r,m= constante D
(b)

Dpl

V,D,m= constante

Dpl

V,D,r= constante r
(c) (d)

m

Figura 8.1: Relaci´n entre la ca´ de presi´n con las distintas variables independientes. o ıda o

Salta a la vista que esta forma de proceder, tanto desde un punto de vista pr´ctico como a econ´mico, no es apropiada . En este caso la relaci´n funcional entre la variable...