mecanica del solido rigido

Mecánica del sólido rígido

Movimiento complejo de un sólido rígido, que presenta precesión alrededor de la dirección del momento angular además rotación según su eje de simetría
La mecánica de un sólido rígido es aquella que estudia el movimiento y equilibrio de sólidos materiales ignorando sus deformaciones. Se trata, por tanto, de un modelo matemático útil para estudiar una parte de lamecánica de sólidos, ya que todos los sólidos reales son deformables. Se entiende por sólido rígido un conjunto de puntos del espacio que se mueven de tal manera que no se alteran las distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante (matemáticamente, el movimiento de un sólido rígido viene dado por un grupo uniparamétrico de isometrías).

Centro de gravedad[editar]
El centro de gravedad ocentro de masas de un sistema continuo es el punto geométrico definido como:
(1)\mathbf r_\text{CM} = \frac{\int\mathbf r dm}{\int dm} = \frac{\int\mathbf r dm}{M}
En mecánica del sólido rígido, el centro de masa se usa porque tomando un sistema de coordenadas centrado en él, la energía cinética total K puede expresarse como \scriptstyle{K={1\over2}MV^2+K_{rot}}, siendo M la masa total delcuerpo, V la velocidad de traslación del centro de masas y Krot la energía de rotación del cuerpo, expresable en términos de la velocidad angular y el tensor de inercia.
Velocidad angular[editar]
Sea una partícula cualquiera de un sólido rígido el cual se desplaza girando. Dado que todos los puntos están rígidamente conectados podemos hacer la siguiente descomposición de posición y velocidades,tomando un punto de referencia arbitrario \mathbf{r}_0 :
(2a) \mathbf{r}(t,\mathbf{r}_0) = \mathbf{r}_c(t) + \mathbf{r} (t,\mathbf{r}_0) = \mathbf{r}_c(t) + A(t) \mathbf{r}_0
(2b) \mathbf{v}(t,\mathbf{r}_0) = \mathbf{v}_c(t) + \boldsymbol\omega(t) \times \mathbf{R}(t,\mathbf{r}_0) = \mathbf{v}_c(t) + \boldsymbol\omega(t) \times (\mathbf{r}(t,\mathbf{r}_0) - \mathbf{y}_c(t)) = \mathbf{v}_c(t) +\boldsymbol\omega(t) \times A(t) \mathbf{y}_0
(2c) A'(t)\mathbf{r}_0 = \boldsymbol\omega(t) \times A(t)\mathbf{y}_0
Donde
\mathbf{r} es vector posición del punto o partícula
\mathbf{r}_c es la posición de un punto de referencia del sólido
A(t)\in SO(3) es la orientación, que viene dada por una matriz ortogonal
\mathbf{R} es la posición de la partícula con respecto al punto de referenciadel cuerpo a lo largo del tiempo con una orientación variable.
\mathbf{r}_0 es la posición de la partícula con respecto al punto de referencia del cuerpo en la orientación de referencia inicial.
\boldsymbol\omega es la velocidad angular
\mathbf{v} es la velocidad total de la partícula
\mathbf{v}_c es la velocidad "traslacional" o velocidad del punto de referencia.
Momento angular ocinético[editar]
Artículo principal: Momento angular
El momento angular es una magnitud física importante porque en muchos sistemas físicos constituye una magnitud conservada, a la cual bajo ciertas condiciones sobre las fuerzas es posible asociarle una ley de conservación. El hecho de que el momento angular sea bajo ciertas circunstancias una magnitud cuyo valor permanece constante puede ser aprovechadoen la resolución de las ecuaciones de movimiento. En un instante dado, y fijado un punto del espacio en un punto del espacio O, se define el momento angular LO de un sistema de partículas respecto a ese punto como la integral siguiente:

\mathbf{L}_O = \int_V \rho(\mathbf{r}_O\times\mathbf{v}_O) \quad dV

Donde V, \rho(\mathbf{r}) son el volumen del sólido y la densidad másica en cada punto, y\mathbf{v}_O, \mathbf{r}_O son la velocidad de una partícula del cuerpo y el vector de posición respecto a O. Conviene recordar que el valor de la magnitud anterior depende de qué punto O se elija. Para el estudio de sólidos rígidos en movimiento conviene escoger un "punto móvil" (es decir, para cada instante del tiempo consideraremos un punto diferente del espacio). Por ejemplo podemos...