mecanica ondulatoria

Ondas de Materia: Dualidad Part´
ıcula–Onda

5.4.

65

La mec´nica ondulatoria de Schr¨dinger.
a
o

La historia cuenta que estando ´ste en la Universidad de Zurich fu´ invitado por P Debye a
e
e
dar un seminario sobre las ideas de de Broglie y el resultado fu´ una serie de art´
e
ıculos entre
Enero y Junio de 1926 que dieron lugar a una formulaci´n matem´tica completa de lo quehoy
o
a
conocemos como Mec´nica Ondulator´
a
ıa.
Schr¨dinger se plantea el problema de encontrar la ecuaci´n que describe la evoluci´n de las
o
o
o
ondas de de Broglie. En (5.21) y (5.24) observa la analog´ entre la ´ptica geom´trica y la
ıa
o
e
din´mica de part´
a
ıculas. Esto hab´ sido desarrollado por Debey en un trabajo de (1911) en
ıa
el que mostraba que en el l´
ımite delongitudes de onda muy cortas las ecuaciones de ondas
de la radiaci´n electromagn´tica, tiende a la ecuaci´n de la eikonal caracter´
o
e
o
ıstica de los rayos
o
´pticos, ecuaci´n que es an´loga en forma a la ecuaci´n de Hamilton–Jacobi de la din´mica
o
a
o
a
de part´
ıculas. Schr¨dinger busca una ecuaci´n para una part´
o
o
ıcula que tenga como l´
ımite la
ecuaci´n deHamilton–Jacobi, de manera que mantenga un paralelismo semejante al que hay
o
entre la ecuaci´n de ondas para la radiaci´n electromagn´tica y la ecuaci´n b´sica de la ´ptica
o
o
e
o a
o
geom´trica.
e
En el primer cap´
ıtulo se vi´ con detalle el paralelismo y las relaciones concretas que encontr´ Schr¨dino
o
o
ger. Cuando se comparan ambos caminos quedan claras las siguientes relaciones entre la´ptica
o
y la din´mica de part´
a
ıculas: En primer lugar tenemos el principio de Fermat para la trayectoria
del rayo ´ptico y el de Maupertius para la trayectoria de las part´
o
ıculas
B

δ

ds
A

1
λ

B

= 0 ←→ δ

ds p = 0.

(5.32)

A

A partir de ellas se obtiene la ecuaci´n de la eikonal para la ´ptica y la de Hamilton–Jacobi para
o
o
las part´
ıculas
(∇S)2 − n2(r) = 0 ←→

1
(∇S0 )2 − (E − V (r)) = 0.
2m

(5.33)

El objetivo es llegar a una ecuaci´n de ondas, con este prop´sito proponemos las siguientes
o
o
soluciones para cada una de ellas
u(r) = ek0 S(r) ,

1

¯
←→ ψ(r) = e h S0 (r) .

(5.34)

De manera que si sustituimos en la ecuaci´n de la eikonal y en la de Hamilton–Jacobi obtenemos
o
las ecuaciones
(∇u)2 − k2 u2 = 0 → (∇ψ)2− (E − V )ψ 2 = 0,

(5.35)

con k = n(r)k0 . Podemos llegar a las ecuaciones de ondas, integrando para todo punto r y
tomando variaciones respecto de la funci´n u(r) y ψ(r), o sea
o

66

5 Ondas de Materia: Dualidad Part´
ıcula–Onda

δ

dr (∇u)2 − k2 u2

= 0 → δ

dr (∇ψ)2 −

2m
(E − V ) ψ 2 = 0,
h
¯2

(5.36)

que conduce a la ecuaci´n de ondas
o
∇2 + k2 u(r) = 0 →

h¯2 2
∇ + (E − V ) ψ(r) = 0.
2m

(5.37)

La ultima es la denominada ecuaci´n no–relativista independiente del tiempo de Schr¨dinger, y
´
o
o
que puede escribirse como
Hψ(r) = Eψ(r)

(5.38)

donde H es el hamiltoniano en el que las componentes del momento lineal px , py , pz son
reemplazadas por los operadores diferenciales
pxk

→

h
¯
∂x , k = 1, 2, 3.
i k

(5.39)

As´pues para una part´
ı
ıcula en movimiento tridimensional la ecuaci´n (5.38) es una ecuaci´n
o
o
diferencial. Esta debe ser resuelta sujeta a ciertas condiciones de contorno (cc) y otras condiciones adicionales sobre ψ(r) (las cc no han sido establecidas y para fijarlas es necesario entrar
en la naturaleza y significado de estas funciones). En matem´ticas, este tipo de problemas se
adenomina problema de autovalores, en el sentido que s´lo para ciertos valores del par´metro E
o
a
(que pueden ser infinitos y que simbolizaremos por En ) la ecuaci´n (5.38) posee soluci´n (la
o
o
soluci´n correspondiente a En la simbolizaremos por ψn (r)), o sea
o
Hψn (r) = En ψn (r).

(5.40)

La primera aplicaci´n pr´ctica de esta idea fu´ el problema de Kepler, y como autovalores del...