Mecanica

PROBLEMA 1:

θ
y
z
g
L
u
Masa Deslizante
θ
y
z
g
L
u
Masa Deslizante

Mediante ecuaciones de LaGrange obtenga ecuaciónde movimiento:
Usando un D.C.L.
Lcosθ
h
y
z
g
L+x
k
θ
Lcosθ
h
y
z
g
L+x
k
θ

Se define la distancia de movimiento delpéndulo:
h=L-Lcosθ=L+x-L+xcosθ
Y el vector de posición del mismo:
ut=0(L+x)cosθ(L+x)senθ
Se deriva para encontrar su velocidad:ut=0cosθ∙x- (L+x)senθ∙θsenθ∙x+ (L+x)cosθ∙θ
Así obtenemos la Energía Cinética:
T=12mu2=12m 0cosθ∙x- (L+x)senθ∙θsenθ∙x+ (L+x)cosθ∙θ0cosθ∙x-(L+x)senθ∙θsenθ∙x+ (L+x)cosθ∙θ
T=12m{[cosθ∙x- (L+x)senθ∙θ]2+[senθ∙x+(L+x)cosθ∙θ]2}=12m{cos2θ∙x2-2L+xsenθcosθxθ+L+x2sen2θ∙θ2+sen2θ∙x2+2L+xsenθcosθxθ+L+x2cos2θ∙θ2+
Pero:
sen2θ+cos2θ=1
De esta manera simplificamos:
T=12m[x2+L+x2θ2]
Y la energía potencial queda:
V=mgh=mgL+x-L+xcosθ=12kL+x2-mgL+xcosθpero, k=mgL
Sustituyendo, V=12kmgk+x2- mgL+xcosθ

Utilizando el LaGrangiano:
L=T-V=12mx2+L+x2θ2-12kmgk+x2+mgL+xcosθ=12mx2+12mL2θ2+mLxθ2+12mx2θ2-12kx2-mgx-12m2g2k+mgLcosθ+mgxcosθ
Así aplicamos las ecuaciones de LaGrange:
ddt∂L∂x-∂L∂x=0
ddtdLdθ-∂L∂θ=0
∂L∂x=mx∂L∂θ=m(L+x)2θ
ddt∂L∂x=mx
ddt∂L∂θ=m(L+x)2θ=2mL+xxθ+m(L+x)2θ
∂L∂x=m(L+x)θ2-kx+mg(1-cosθ)
∂L∂θ=-mg(L+x)senθ
Sustituyendo en las ecuaciones de LaGrange,las ecuaciones de movimiento nos quedan:

mx-mL+xθ2+kx-mg1-cosθ=0
m(L+x)2θ+2mL+xxθ+mgL+xsenθ=0