Mecanica

1

Ejemplos resueltos, para preparar la primera prueba parcial del segundo
semestre de 2010
Problema N°1
Entre dos puntos “A” y “C”, separados 8 metros en dirección horizontal, se tiende un cable
flexible de 10 metros de largo. Sobre el cable se coloca una polea sin roce, de peso y radio
despreciable que soporta un peso “W”. Determinar la tensión “T” en el cable para la
posición deequilibrio. Datos : W.
8 mts
A
C
B
Polea

W
Solución:
Equilibrio de la polea
8 mts
A

u

D

C

T1

T2

B

θ1
v

θ2
Polea

E

W
Teniendo en consideración la continuidad del cable AC, entonces la magnitud de T1 = T2
Ecuaciones de equilibrio:
− T1 ⋅ cosθ1 + T2 ⋅ cosθ 2 = 0
Fx = 0 →

∑
∑ Fy = 0

Pero, como T1 = T2 , entonces:
Luego, podemos hacer:

→

θ1 = θ 2θ1 = θ 2 = θ

T1 = T2 = T

− W + T1 ⋅ senθ1 + T2 ⋅ senθ 2 = 0

2
Resolviendo el sistema de ecuaciones, resulta:
Además, como

T=

W
2 ⋅ senθ

θ1 = θ 2 , entonces el triángulo ABD es semejante con el triángulo CBE.

AB = u → BC = (10 − u )
Si llamamos
Y:
DB = v → BE = (8 − v )
De la semejanza de triángulos se obtienen las siguientes relaciones:
u (10 − u )
=
v (8 − v )10v − u ⋅ v = 8u − u ⋅ v

→

u=

→
Además:

u 2 = v 2 + ( AD )

2

5v
4
→

Luego,

senθ1 =
Finalmente, como

AD =

3v
4

AD 3v 4 3
= ⋅ =
4 5v 5
u
T=

T=

W
W 5 5W
= ⋅ =
2 ⋅ senθ1 2 3
6

5W
6

3
Problema N°2
Para la siguiente estructura, se pide determinar las reacciones en los apoyos A,C,E y el
esfuerzo que soporta la biela BD
Datos: q, l, M = 3ql2

q
A

B
biela

l

M

C

E

D

l

l

l

Solución:
a) Equilibrio de la barra AB

Q = q ⋅ 2l
q
Ax

A

B

B

Ay
45°

∑ Fx = 0 ⇒ Ax + B ⋅ cos 45° = 0
∑ Fy = 0 ⇒ Ay + B ⋅ sen45° − 2ql = 0
∑ M B = 0 ⇒ 2ql ⋅ l − Ay ⋅ 2l = 0
Luego, de la tercera ecuación obtenemos el valor de Ay , que reemplazandolo en las
otras ecuaciones se obtiene los siguientesresultados:

Ay = ql

B = ql 2

Ax = −ql

4
b) Equilibrio de la barra CE:

B
M

D

C

45°

l

l

Cy

l

Ey

Ecuaciones de equilibrio:
°
∑ Fx = 0 ⇒ E x − B ⋅ cos 45 = 0
°
∑ Fy = 0 ⇒ C y + E y − B ⋅ sen45 = 0

∑ M c = 0 ⇒ − M − B ⋅ sen45° ⋅ l + E y ⋅ 3l = 0
Luego:

Ex

E

E x = ql
4ql
3
ql
Cy = −
3
Ey =

5
Problema N° 3
Determinar el ángulo “ φ ” parael cual la barra “AB” de peso “ W ” y largo “ l ” estará en
equilibrio si todas las superficies son lisas. Para dicha posición de equilibrio, determinar
además las reacciones de los planos sobre la barra.
Datos: W , l

θ = 30°
α = 45°

B

A

φ
W

α

θ
Soluciòn:

B

l

α

φ

A

W

A

θ

θ

α

Ecuaciones de equilibrio de la estática:
∑ Fx = 0 → A ⋅ senθ − B ⋅senα = 0

∑ Fy = 0

→

B

(1)

A ⋅ cosθ + B ⋅ cosα − W = 0

(2)

l
− W ⋅ ⋅ cosφ + B ⋅ cos α ⋅ l ⋅ cos φ + B ⋅ senα ⋅ l ⋅ senφ = 0
2
En este sistema de ecuaciones, las incógnitas son : A, B,φ

∑M A = 0

→

Resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos:

A=

W ⋅ tgα
cosθ ⋅ (tgα + tgθ )

→

A = 0,732 ⋅ W

B=

W ⋅ tgθ
cos α ⋅ (tgα + tgθ )

→

B = 0,5176 ⋅ Wtgφ =

(tgα − tgθ ) = 0,366

2 ⋅ tgα ⋅ tgθ

→

φ = 20,1°

(3)

6
Problema N°4
La barra “AB” de longitud “ l ”, está apoyada
mediante una articulación fija por el extremo
“A” y sujeta por una cuerda por el extremo
“B”. Por el otro extremo de la cuerda que pasa
por una polea en “C” de diámetro
despreciable, cuelga un cilindro de peso “ Q ”
tal como se muestra en la figura.Considerando que el peso propio de la barra
“AB” es “ W ”, se pide demostrar que para
que exista equilibrio el valor de “ θ ” debe ser:

⎛Q⎞
cosθ = 1 − 2 ⋅ ⎜ ⎟
⎝W ⎠

C

B

l

Q

θ

2

l

W

A

Solución.
a) Solución vectorial:

r
MA =0
∑

→

r
r
ˆ
ˆ
AD × W ⋅ k + AB × T ⋅ k = 0

(1)

Donde:

A = (0,0,0 )
B = (l ⋅ senθ , l ⋅ cosθ ,0)
C = (0, l,0 )
l
⎛l...