Mecanica

Integrales impropias. Limites de integrales infinitos

En la definición de abfxdx se supone que el intervalo [a,b] era finita, sin embargo, en muchas aplicaciones de física, economía yprobabilidad queremos permitir a “a” o a “b” (o a ambas) sean ó -, por tanto debemos encontrar la manera dar significado a símbolos como:

0∞11+x2 ; -∞-1xeedx ; -∞∞x2e-x2dx

Estas integrales sedenominan integrales impropias con límites infinitos.

Un límite infinito:
La grafica f(x)= e-x en 0, ∞
Y

1

abe-xdx f(x)=e-x
0 bLa integral abe-xdx tiene sentido sin importar que tan grande se haga b; en realidad podemos evaluar esta integral de manera explícita.
abe-xdx= abe-x-dx= -e-x0b= 1-e-b
Ahora limb→∞(1-e-b)= demodo que parece natural definir 0∞e-xdx=1
He aquí la definición general:
-∞bf(x)dx= lima→∞abfxdx

a∞f(x)dx= limb→∞abfxdx

Si los límites de la derecha existen y tienen valores finitos,entonces decimos que las correspondientes integrales impropias convergen y tienen sus valores. De otra forma se dice que la integral diverge.
Ahora podemos dar una definición para -∞bf(x)dx
Si -∞0fxdx y0∞fxdx convergen, entonces se dice que -∞∞fxdx convergen y tienen valor:

-∞∞f(x)dx= -∞0f(x)dx+ 0∞f(x)dx

En caso contrario, -∞∞f(x)dx o establecen que divergen.

Integrales impropias.Definición: Integral impropia convergente a∞f(x)dx. Sea f(x) continua para xa si existe el limb→∞abfxdx, se dice que f tiene integral impropia convergente desde a hasta .
El valor del límite se denotaa∞fxdx

Definición: Integral impropia divergente a∞f(x)dx. Sea f una función continua. Si no existe limx→∞abfxdx, diremos que f tiene integral impropia divergente.

Lista de límites diversos1. limx→afx=L, cuando x tiende hacia “a”, f(x) tiende a L.
Ejemplo: limx→32x+1=23+1=7

2. limx→∞fx=L, cuando x tiende a infinito positivo, f(x) tiende a L.
Concepto: f(k) está definida...