Mecanica

Ecuaciones constitutivas y deformación
Fabio Hernán Realpe Martinez 11 de marzo de 2011

Capítulo 1

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Capítulo 2

Elasticidad lineal
2.1. Generalidades
Un solido elástico es aquel que maniesta un comportamiento lineal, lo que implica que la tensión y la deformación sean directamente proporcional esto se peude denir como, σ lo que indica una relación entre tensión ydeformación. Por tanto la deformación y el esfuerzo deben ser descritos por sus respectivos tensores. Estos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidas como ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lamé-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal y homogéneo. Para un material esta ley se encuentra denidacomo:
σij =
k,l

Cijkl εkl

(2.1)

Esto indica que cada componente de la diádica de tensión depende de las nueve componentes de la diádica de deformación, lo que conlleva a un sistema de ecuaciones de 81 componentes para i, j, k, l = 1, 2, 3 [3].
¢ σii se denominado tensión normal. ¢ σij se denominado tensión tangencial. ¢ C se denomina matriz de rigidez. ¢ εkl se denomina   σ11 C1111  σ12  C1211     σ13   C1311     σ21   C2111     σ22  =  C2211     σ23   C2311     σ31   C3111     σ32   C3211 σ33 C3311 

deformación.
C1112 C1212 C1312 C2112 C2212 C2312 C3112 C3212 C3312 C1113 C1213 C1313 C2113 C2313 C2313 C3113 C3213 C3313 C1121 C1221 C1321 C2121 C2321 C2321 C3121 C3221 C3321 C1122 C1222 C1322 C2122 C2322 C2322 C3122 C3222 C3322 C1123C1223 C1323 C2123 C2223 C23 C3123 C3223 C3323 C1131 C1231 C1331 C2131 C2231 C2331 C3131 C3231 C3331 C1132 C1232 C1332 C2132 C2232 C2332 C3132 C3232 C3332 C1133 C1233 C1333 C2133 C2233 C2333 C3133 C3233 C3333               ε11 ε12 ε13 ε21 ε22 ε23 ε31 ε32 ε33              

(2.2)

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CAPÍTULO 2.

ELASTICIDAD LINEAL

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Debido a que las diádicas delas tensiones y deformaciones son simétricas en este conjunto general, se hace posible eliminar las siguientes deformaciones ε21 , ε31 , ε32 , como tambien sus correspondientes tensiones σ21 , σ31 , σ32 . Tras estas simplicaciones el conjunto general se reduce a:
        σ11 σ12 σ13 σ22 σ23 σ33   C1111 C1211 C1311 C2211 C2311 C3311 C1112 C1212 C1312 C2212 C2312 C3312 C1113 C1213 C1313C2313 C2313 C3313 C1122 C1222 C1322 C2322 C2322 C3322 C1123 C1223 C1323 C2223 C23 C3323 C1133 C1233 C1333 C2233 C2333 C3333         ε11 ε12 ε13 ε22 ε23 ε33        

      =      

(2.3)

Simplicando los subindices de tal forma que 11 = 1, 12 = 2, 13 = 3, 22 = 4, 23 = 5, 33 = 6 para las componentes de C y reemplazando σij = τij se obtiene la leygeneralizada de Hooke :[?]
        σ11 σ12 σ13 σ22 σ23 σ33   C11 C21 C31 C41 C51 C61 C12 C22 C32 C42 C52 C62 C13 C23 C33 C43 C53 C63 C14 C24 C34 C44 C54 C64 C15 C25 C35 C45 C55 C65 C16 C26 C36 C46 C56 C66         ε11 ε12 ε13 ε22 ε23 ε33        

      =      

(2.4)

Deacuerdo a [?] el tensor de deformación εkl debe ser reescrito debido a que existendeformaciones angulares producida por las tensiones aplicadas sobre las caras del elemento ininitesimal, para esto se hace necesario analizar la gura.2,1

Figura 2.1: Deformación de un elemento diferencial [5]

La gura 2.1indica una deformación de un elemento diferencial en dos dimensiones, los desplazamientos ocurren sobre las coordenadas x y y, haciendo referencia al punto A sobre laCAPÍTULO 2.

ELASTICIDAD LINEAL

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localización (x,y ), donde las componentes de desplazamiento son u(x,y) y v(x,y) ; por otro lado, las correspondientes coordenadas del punto B son u(x+dx,y) y v(x+dx,y), similiarmente los desplazamientos de los demas puntos son denidos de las misma manera, aplicando la teoría de pequeñas deformaciones tenemos que mediante series de taylor se puede...