Mecanica

TAREA FUNCIONES CON VALORES VECTORIALES

1) Exploraremos una curva parametrica bidimensional inusual que se conoce como ESPIRAL DE CORNU. Defina la función con valores vectoriales
use undispositivo graficador para dibujar la gráfica para . Calcule la longitud del arco de la curva desde hasta , calcule la curvatura en ¿Qué propiedad notable encuentra?

ESPIRAL DE CORNUCOMANDOS MATLAB PARA REALIZAR LA GRAFICA
clear all
echo on;
n= 1000;
x=zeros (1,n);
y=x;
t=linspace (0, 4*pi,n);
for i=1: n-1;
x(i) =quadl (inline( 'cos(x.^2) '),t(i),t(i+1),1e-6);
y(i)=quadl (inline( 'sin(x.^2) '),t(i),t(i+1),1e-6);
end
x=cumsum(x);
y=cumsum(y);
plot ([-x(end:-1:1) 0 x],[-y(end:-1:1) 0 y]);
grid;
axis equal
PARTE A – LONGITUD DEL ARCO



DEACUERDO AL SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO:







 longitud de arco

PARTE B – CALCULE LA CURVATURA EN




OBTENEMOS




APLICANDO LA ECUACION DE CURVATURA PARA UN VECTOR

 saco factor común π2t2

Sustituyo
 curvatura constanteLa Espiral de Cornu la descubrió James Bernoulli. Bernoulli encontró que la espiral tiene una relación interesante entre curvatura y longitud de arco, la cual es: . La curvatura de la funciónes constante, por tanto se puede decir que es una circunferencia.

2) Hallar la longitud del arco de la curva descrita por r(t)=(t,t2 +1) para t [0,3].

Obtenemos la primera derivada dey su modulo para encontrar la longitud de arco:






...