Mecanismos

Sistemas multi-cuerpo 2-D
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Aplicación del Álgebra Lineal al Estudio de Grados de Libertad, Velocidades y Aceleraciones de Sistemas Multi-Cuerpo 2-D
Matemáticas de la Especialidad (Mecánica-Máquinas) Madrid, 4 de noviembre de 2002
Javier García de Jalón
ETSII - Departamento de Matemática Aplicada a la Ingeniería Industrial

Sistemas formados por varios sólidos rígidoscon posibilidad de tener movimiento relativo entre ellos (velocidades paralelas a un plano). También se les puede llamar “mecanismos” planos. Ejemplos: B 3 2 1 4 A C A 2 ψ 1 3 2

GDL: Criterio de Kutzbach-Grübler
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Criterio de Kutzbach-Grübler: Excepciones
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Nº de grados de libertad: Mínimo nº de variables independientes que determinan la posición o el movimiento de unsistema.. El nº de gdl se determina mediante la fórmula de Kutzbach-Grübler:
Para sistemas planos:
F = 3 ( N − 1) − 2 P1 − P2 Para sistemas tridimensionales: F = 6 ( N − 1) − 5P1 − 4 P2 − 3P3 − 2 P4 − P5

Debidas a la particular geometría del sistema:
El cuadrilátero articulado plano, considerado como sistema 3-D, tiene (–2) grados de libertad
F = 6 ( N − 1) − 5P1 = 18 − 20 = −2 Sólo porque losejes de rotación son paralelos este mecanismo se puede mover con 1 gdl real.

donde: N es el nº de sólidos (incluyendo el elemento fijo, si lo hubiere) Pi es el nº de pares o uniones de clase “i” (que permiten i gdl)

Posiciones singulares:
Algunos sistemas adquieren gdl adicionales en ciertas posiciones. Por ejemplo, un cuadrilátero articulado con los cuatro lados iguales tiene 2 gdl cuandolos cuatro lados están en posición horizontal.

La fórmula de Kutzbach-Grübler tiene numerosas “excepciones”:
Sistemas con más gdl que los que predice la fórmula. A estos sistemas se les llama sistemas “redundantes” o “sobre-determinados” . Existen métodos algebraicos, como los que se verán a continuación, que permiten tratar las excepciones de la fórmula de Kutzbach-Grübler.

Variablesdependientes e independientes
En sistemas de cadena cerrada:
No es posible determinar la posición unívocamente con variables o coordenadas independientes (tantas como gdl). Es necesario por tanto utilizar un sistema de coordenadas “ampliado”, que ya no podrán ser independientes. Las coordenadas dependientes están relacionadas mediante las “ecuaciones de restricción”. 2
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Tipos decoordenadas dependientes
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1

3

Coordenadas de puntos de referencia

2 ϕ 2' ψ2 1 ψ1 2 ψ3 3
4

Α
( x1 , y1 )

( x2 , y2 )

ψ2

Coordenadas naturales (x1,y1) 3 (x2,y2)

Β ψ3

2 ψ1 1
( x3 , y3 )

A

B

2

4 A B

3 D B 2 ψ3 3

Ο

Coordenadas relativas

Coordenadas mixtas

En sistemas de cadena abierta:
Se pueden encontrar conjuntos de coordenadasindependientes que definen unívocamente la posición del sistema. En ocasiones, por conveniencia o necesidad, se utilizan también conjuntos de coordenadas dependientes.

ψ2 A 1 O ψ1

ψ (x1,y1)
s

(x2,y2) (x3,y3)

D

A

B

Coordenadas naturales
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Coordenadas mixtas
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Determinan la posición de cada sólido por medio de dos o más puntos. Los puntos pueden ser compartidos.2 3 Las restricciones proceden de los 1 sólidos rígidos y de ciertos pares. Para los mecanismos de la figura: 4 2
Mecanismo RRRR
2 2

Son similares a las coordenadas naturales, pero introduciendo ángulos y distancias en los pares (coordenadas relativas). En el mecanismo RRPR las ocho coordenadas dependientes son: {x1, y1 , x2 , y2 , x3 , y3 , s, Ψ} Las siete ecuaciones de restricción serán:B
( x1 − x A )2 + ( y1 − y A )2 − L2 = 0 2 ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 − L2 = 0 3 ( x3 − x B ) + ( y3 − y B ) − L = 0
2 2 2 4

( x1 − x A ) 2 + ( y1 − y A ) 2 − L2 = 0 2

A

ψ 1
s

2 3

( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) − L = 0
2 3

( x2 − xB )2 + ( y2 − y B ) 2 − L2 = 0 4

2 1 3

Mecanismo RRPR
( x1 − x A )2 + ( y1 − y A )2 − L2 = 0 2 ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 − L2 = 0 3 ( x3 − x...