Media, Mediana Y Moda

Media, mediana, moda y otras medidas de tendencia central

NOTACiÓN DE íNDICES
Denotemos por Xj (léase "X sub l') cualquiera de los N valores XI' X2 , X 3"'" XN que toma una variableX. La letrajenXj , que puede valer 1,2,3, ... , N se llama subíndice. Es claro que es posible emplear cualquier otra letra en vez dej; por ejemplo, i, k, p, q o s.

El símbolo I1=1 Xj denota la suma de todos losXj desde j = 1 hasta j = N; por definición,

LX
j=1

N

j

= XI + X 2 + X 3 + ... + X N

Cuando no ocasione confusión, se denotará esa suma simplemente con El símbolo I es la letra griega sigma mayúscula, que significa suma.

Ix, IX o I J0.
j
j

EJEMPLO 1 EJEMPLO 2

N
}=¡

?Xjlj = XI YI + X2Y2 + X3 Y3 + ... + XNYN
N N
.
~

~

¿aXj = aX¡ + aX2 + ... + aXN = a(X¡ + X2 +... + XN = aLXj )
donde a es una constante. Más simple:

I

aX = a Ix.

EJEMPLO

3

Si a, b c son constantes, entonces

y

I(aX + bY - cZ) = a Ix + b Iy - e Iz (véase el problema 3.3).

PROMEDIOS O MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Un promedio es un valor típico o representativo de una conjunto de datos. Como tales valores suelen situarse hacia el centro del conjunto de datosordenados por magnitud, los promedios se conocen como medidas de tendencia central.

\,
La media aritmética ponderada.

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Se definen varios tipos. siendo los más comunes la media aritmética. la mediana. la moda. la media geométrica y la media armónica. Cada una tiene ventajas y desventajas. según los datos y el objetivo perseguido .

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MEDIA ARITMÉTICA

La mediaaritmética. o simplemente media. de un conjunto de N números XI' X2 • X 3 ••••• X N se denota por X(léase "X barra") y se define por

(1)

EJEMPLO

4

La media aritmética de los números 8. 3. 5.12 Y 10 es

X = 8 + 3 + 5 + 12 + 10 = 38 = 7.6
5 5
Si los números XI' X2..... X KocurrenJ¡.h... .• fK veces. respectivamente (es decir, con frecuenciasJ¡.h •...• fK).la media aritmética es(2)

donde N

=Lf es lafrecuencia total (es decir. el número total de casos).

EJEMPLO

5

Si 5, 8. 6 Y2 ocurren con frecuencias 3. 2.4 Y 1, en ese orden. su media aritmética es

X = (3)(5) + (2)(8) + (4)(6) + (1)(2) = 15 + 16 + 24 + 2 = 5.7
3+2+4+1

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LA MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA
A veces se asocia a los números XI' X2••••• XKciertosfactores de peso (o pesos) W¡. dependiendo dela influencia asignada a cada número. En tal caso.

• W 2••••• W K

x=

_\1....:.'1X--'-I_+_W.::.2X ----"-2

W¡ +w2

k _+_.'_'_+_W.::K_X...::. + ... +WK

LWX LW

(3)

se llama media aritmética ponderada con pesos J¡. h .... ./K' Obsérvese la similitud con la ecuación (2). que puede considerarse una media aritmética ponderada con pesosJ¡,f2'" .,fK'

EJEMPLO 6

Si el examen finalde un curso cuenta tres veces más que una evaluación parcial y un estudiante obtiene una calificación de 85 en el examen final. y 70 Y90 en los dos parciales, la calificación media es

X = (1)(70) + (1)(90) + (3)(85)
1+1+3

= 415 = 83

5

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CAPíTULO 3 •

Media, mediana, moda y otras medidas de tendencia central

PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA
1.

La suma algebraica de lasdesviaciones de un conjunto de números con respecto a su media aritmética es cero.

EJEMPLO 7

Las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12 Y10 en relación con su media aritmética 7.6 son 8 -7.6,

3 -7.6, 5 -7.6, 12-7.6y 10-7.6, o sea, 0.4,--4.6,-2.6,4.4 Y2.4, con suma algebraica 0.4-4.6- 2.6 + 4.4 + 2.4 =O. 2. 3. La suma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de números Xj conrespecto de un cierto número a es mínima si y sólo si a =X (véase el problema 4.27). Si/¡ números tienen media m¡,A números tiene media ~, .. . ,fK números tienen media mK , entonces la media de todos los números es

X =I¡m¡ +12 m2 + ... +IKmK /1 +fz+···+fK
4.

(4)

es decir, una media aritmética ponderada de todas las medias (véase el problema 3.12). Si A es una media aritmética supuesta...