Medias Pitagoricas

ARITMÉTICA PITAGÓRICA: LAS MEDIAS
ANTECEDENTES: LAS MEDIAS CLÁSICAS ELEMENTALES
Primera media o media aritmética. El estudio de las medias posibles entre dos números fue ampliamente tratado por los matemáticos pitagóricos. La más natural, llamada "media aritmética" o simplemente "promedio", ha sido conocida por todos los pueblos. Su expresión matemática es:
La principal propiedad de esta mediaes su equidistancia con los términos extremos, que es lo mismo que decir que la terna (a,m,b) forma una progresión aritmética. De ahí el nombre de la media.
Pero los pitagóricos dedujeron multitud de medias más. Para proceder a su descripción sistemática, llamaremos:
-a: término mayor
-b: término menor
-d: diferencia entre ambos, o sea d = a-b
-a: diferencia entre el término mayor y lamedia, o sea a = a - m
-b: diferencia entre la media y el menor, o sea b = m - b.
Obviamente, es siempre a+b = d. Observemos también que los valores (b,m,a) forman siempre una sucesión creciente. Llamaremos por ello "términos extremos" a los a y b, y término central al m. Los "términos mayores" serán (a,m), y los "términos menores" los (b,m).
Con ayuda de estos símbolos y terminología, traduciremosla propiedad antes indicada de la media aritmética, o primera media de los pitagóricos:
α = b
Segunda media o media geométrica. Una segunda media, la que hoy llamamos geométrica, surge al imponer la condición de que el término central es al menor como el mayor al central. Algebraicamente:
De donde resulta, en notación moderna:
Incidentalmente, de ahí resulta también:
Y también otrainteresante relación entre los intervalos:
Finalmente, se cumple en esta media que m2 = ab, es decir, que un cuadrado de lado igual a la media tiene un área equivalente a la de un rectángulo definido por los términos extremos como lados. De ahí el nombre de media geométrica, por su relación con la construcción de figuras y cuadratura de éstas, problema que tenía muy sensibilizados a los matemáticosantiguos.
Tercera media o media harmónica. La tercera media, también muy conocida, es llamada harmónica, y resulta de imponer la condición de que las dife-rencias sean proporcionales precisamente a los términos, como ocurre en la terna (3,4,6), donde
En general:
Modernamente, tiende a interpretarse esta media diciendo que la sucesión de los inversos de los tres números forma progresión aritmética. O,de otra forma, que la inversa de la media harmónica es la media aritmética de los inversos de los términos. En ambos casos, se obtiene sin dificultad la fórmula de esta media:
El origen del nombre radica en las propiedades musicales de las notas emitidas por cuerdas de igual tensión correspondientes a cuerdas de longitudes en proporción harmónica. Por ejemplo, en el llamado "acorde perfecto",do-mi-sol estas longitudes son (15,12,10).
OTRAS MEDIAS PITAGÓRICAS CLÁSICAS
Hasta aquí, todo es bastante conocido. Pero los pitagóricos avanzaron bastante m s en este terreno. Para empezar, definieron una cuarta media, la antiharmónica, donde los intervales est n en razón inversa a los extremos:
De donde resulta .
Un ejemplo es la terna (3,5,6), donde es fácil advertir que los intervalos estáninvertidos respecto a la harmónica (3,4,6) vista anteriormente.
En la quinta media de los pitagóricos, la razón entre los intervalos es igual a la razón entre los términos menores:
Esto se da, por ejemplo, en la sucesión (2,4,5). El cálculo general, en notación moderna, conduce a la resolución de la ecuación de segundo grado:
m2 - (a - b)m – b2 = 0
La sexta media es similar. En este caso, larazón entre los intervalos es igual a la razón entre los términos mayores:
Un ejemplo es la sucesión (1,4,6). Nuevamente llegamos a una ecuación de segundo grado:
m2 - (a - b)m – a2 = 0
Observemos que las medias 2a, 4a, 5a y 6a agotan todas las posibles combinaciones del cociente α/β con los valores de la terna (b,m,a).
MEDIAS DE LOS EPÍGONOS PITAGÓRICOS
Las anteriores medias fueron las...