medidas de dispersion

MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Son indicadores estadísticos que representan cuan dispersas se encuentran los datos de la
variable, señalándonos el grado de concentración de los mismos con respecto al promedio de la
distribución.
Las medidas de dispersión más usuales son:
MUESTRA
R

 Rango

POBLACIÓN
R

 Varianza

S2

2

 Desviación estándar

S



Las medidas de dispersión seusan para:
a) Verificar la confiabilidad de los promedios.
b) Establecer como base para el control de la variable. Así tenemos:
DATOS HETEROGÉNEOS: Alta dispersión (medida de dispersión alta) --- baja
concentración alrededor del promedio.
DATOS HOMOGÉNEOS: Baja dispersión (medida de dispersión baja) -- Alta concentración
alrededor del promedio.
RANGO
El rango de una variable es ladiferencia entre el valor máximo y su valor mínimo y se define
como:

R

X

máximo

 X min imo

Su uso es muy limitado, pues solo toma en cuenta los valores extremos.
Ejemplo:
La edad de 10 alumnos en un aula de clase, es según se muestra a continuación. Se pide hallar
el rango.
23
18
28
18
16
26
19
20
21
18
Solución.
Rango = 28-16
=
12
Luego, existe una dispersión de 12años.

VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTANDAR
 Son medidas de dispersión o variabilidad de los datos.

La variancia se define como las

desviaciones al cuadrado con respecto al promedio (  ). Así también se le conoce como el
promedio de la dispersión en la distribución de una variable.
2

 La desviación estándar, es la raíz cuadrada de la variancia y se representa por



  2
DATOSSIN AGRUPAR
VARIANCIA:
N

2 

1

 x
i 1

i

n

 

N

2

S2 

 x
i 1

i

 x

n 1

2

Donde:
Xi
N
n

:
:
:

Valores de la variable X
Tamaño de la población
Tamaño de la muestra

S2

:
:

Varianza poblacional
Varianza muestral

2

DESVIACIÓN STANDARD:

 


Donde:

S

2

S2

: Desviación estándar poblacional
:Desviación estándar muestral

S

Ejemplo 1.
En una de las fábricas de Motor Perú, se producen autos de diversas marcas, desde Enero a
Agosto de 2010
Meses:
Ene
Feb
Mar
Abr
May
Jun
Jul
Agos
Producción:
100
130
90
120
100
140
110
98
Defina la variable en estudio y halle la varianza y Desviación Standard.
Solución.
Variable de estudio:___________________________________________________
Calculando la varianza:
N

 

X
i 1



N

N

 X
i 1

i

  
2

i

Luego, aplicando la fórmula de varianza:

   
2

Calculando la desviación estándar

Ejemplo 2.
Defina la variable en estudio y calcule la varianza y la desviación estándar de los años de
experiencia de una muestra de 7 trabajadores de la fábrica textil “UniversalS.A.” para el año
2007
Los datos son los siguientes:
3
10
8
6
16
4
2
Solución.
Variable de estudio: _____________________________________________
Calculando la varianza:
n

X 

X
i 1

n

i



 X
n

i 1

i

X

S2 



2





Calculando la desviación estándar.
S=
DATOS AGRUPADOS.Cuando los datos están en una tabla de distribución de frecuencia,la varianza se halla según
la fórmula:
K

2 
Donde:

 mi
i 1

k

2
   . fi

S2 

N

 m
i 1

 x . fi
2

i

n 1

fi = frecuencia absoluta simple de cada clase o grupo
mi = marcas de clase de cada clase o grupo.
N = tamaño de la población.
n = tamaño de la muestra

 2 = Varianza poblacional

S2 = varianza muestral
Nota.- No olvide que ladesviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.
Ejemplo.
Se tiene información para 2010 de la edad de los jóvenes del 5to. Año de secundaria del Centro
Educativo Particular “San Antonio del Pinar”. Se pide:
a) Definir la variable en estudio.
b) Calcular la varianza y la desviación estándar
Grupo de Edad
[15 - 17>
[17 - 19>
[19 - 21>
[21 – 23]
Total

fi
27
7
0
1
35

Solución....