medidas de estadística

Medidas de Dispersión
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Los estudiantes de estadística reciben
diferentes
calificaciones en la asignatura (variabilidad). ¿A qué
puede deberse?
Diferencias individuales en el conocimiento de la
materia.
¿Podría haber otras razones (fuentes de variabilidad)?
Por ejemplo supongamos que todos los alumnos
poseen el mismo nivel de conocimiento. ¿Las notas
serían lasmismas en todos? Seguramente No.
Horas de estudio adicionales.
Tiempo de adquisición de experiencias, marcará
diferencias individuales en la habilidad para hacer un
examen.
El examen no es una medida perfecta del conocimiento.
Variabilidad por error de medida.
En alguna pregunta difícil, se duda entre varias
opciones, y al azar se elige la mala.
Variabilidad por azar, aleatoriedad.
1Medidas de Dispersión Absoluta
Miden el grado de dispersión (variabilidad) de los datos,
independientemente de su causa.
Desviación Absoluta Media
La desviación absoluta media con respecto a la Mediana
(Me), se define como:
D Me

1 k
= ∑ X i − Me ∗ f i
n i =1

La desviación absoluta media con respecto a la Media, se
define como:
k
DX =

1
∑ X i − X ∗ fi
n i =1

2

Ejemplo:Solución

3

Varianza Muestral: Se define como:
2
1 k
1 k
s’2 =
∑ (X i − X ) ∗ f i = n ∑ X i2 * f i − X 2
n i =1
i =1
Es sensible a valores extremos (alejados de la media).

Desviación Típica Muestral: Se define como la raíz cuadrada
positiva de la varianza: Se expresa en las misma unidad de la
variable original (S)
2
s=+ s

Varianza Insesgada de Cochran: Se define como:
1 k(Xi − X )2 * fi
s =
∑
n−1 i=1
2

La referencia más apropiada, óptima para la varianza, es la media aritmética,
por ser el centro de gravedad de la distribución.
4

Varianza :
Población

Muestra

N

σ

2

=

∑ (x
i =1

− μ

i

)2

n

S2 =

N

equivalente

(x i − x )2
∑
i =1

n −1

⎤
1 ⎡ n 2
S =
xi − n x 2 ⎥
∑
n − 1 ⎢ i =1
⎦
⎣
2

DesviaciónEstándar :
Población

σ =

σ

Muestra
2

S = S2

5

Ejemplo:

6

Solución
2
1 k
s ' = ∑ (X i − X ) ∗ f i
n i =1
2

Primera forma:

7

Segunda forma:

1 k
s ' = ∑ X i2 * f i − X 2
n i =1
2

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Propiedades de la varianza
1. La varianza y la desviación típica son valores
esencialmente positivos.
2. Ni la varianza ni la desviación típica se alteran
cuando alos datos se les añade una constante a.
Yi = a + X i
n

2
sy =

∑ (Y − Y )
i =1

i

n

Y =a+ X

Entonces, sabemos que
2

n

=

∑ ( (a + X ) − (a + X ) )
i =1

i

n

2

n

=

∑( X
i =1

i

− X ))

n

2
2
= sx

9

3. Si los datos se multiplican por una constante a
cualquiera, la varianza queda multiplicado por el
cuadrado de dicha constante

Y= aX

Yi = aX i
n

2
sy =

∑ (Y − Y )
i =1

i

n

2

n

=

∑ ( aX
i =1

i − aX )

n

2

n

=

a2 ∑ ( X i − X ))
i =1

n

2
2
= a 2 sx

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4. Dados k grupos con n1, n2, ..., nk observaciones
2
2
con medias X 1 , X 2 ,..., X k y con varianzas s12 , s2 ,...., sk
media ponderada de
las varianzas
parciales

varianza ponderada
de las mediasparciales

∑n s ∑n (X
k

2
sT =

k

2
j j

j =1

n

+

S2w :intra-grupos

j =1

j

j

− XT )

2

n
S2b :entre-grupos

Componentes de varianza

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Observación
• Hay que indicar que la desviación típica no es una medida robusta
de la dispersión. El hecho de que se calcule evaluando los
cuadrados de las desviaciones hace que sea muy sensible a
observacionesextremas, bastante más que la desviación media
(dado que aparece un cuadrado).
• En definitiva, la desviación típica no es una buena medida de
dispersión cuando se tiene algún dato muy alejado de la media. El
rango intercuartílico nos daría en ese caso una idea más
aproximada de cuál es la dispersión de los datos.
• El que la desviación típica sea la medida de dispersión más
común se debe a...