medidas de tendencia central


MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO AGRUPADOS
Son valores que representan el punto de equilibrio, valor típico o centro de la masa de datos. Es decir el representante de la mayoría de los casos ya que es el valor alrededor del cual se aglomeran la mayoría de los datos. En este curso consideraremos cinco medidas de tendencia central: 1) la media aritmética, 2) la media aritméticaponderada, 3) la mediana, 4) la moda y 5) la media geométrica

Media Aritmética / Media / Promedio
Podemos distinguir entre la media aritmética poblacional y la media aritmética muestral, dependiendo si estamos trabajando con una población o con una muestra de ella.

La media poblacional la calculamos sumando cada uno de los valores de la población dividido entre el número de valores, y larepresentamos por:

μ =

Donde μ (letra griega miu), representa al parámetro media poblacional, Σ (letra griega sigma) indica la operación de sumar, X cualquier valor en particular de la población, Σ X, simboliza la suma de todos los valores de X y N es el número de elementos de la población.

A la media muestral la denotamos por el símbolo, x media y se calcula de manera similar a la mediapoblacional pero cambiando N por n

= Xmedia =

Así la media muestral, x media es un estadístico que utilizamos para estimar a la media poblacional, μ

Propiedades o Características de la Media
La media muestral la podemos calcular de datos de tipo intervalo o de razón.
La media aritmética toma en cuenta a todos los valores de la población o de la muestra según sea el caso.
Todoconjunto de datos tiene solo una media.
Es la única medida de tendencia central donde la suma algebraica de las desviaciones de cada valor respecto a la media siempre es igual a 0 …. Σ (X – ) = 0. Así que la media puede considerarse como el punto de equilibrio de un conjunto de datos.
La media pudiera ser inconveniente utilizar como representante de un conjunto de datos cuando uno delos valores es extremo (significativamente diferente al resto, o muy grande o muy pequeño)

Ejemplo
Consideremos de la totalidad de cursos de esta universidad a dos de ellos. Las calificaciones obtenidas se copian a continuación:

Curso 1 … Calificaciones … 14, 15 y 16 Curso 2 …Calificaciones … 0, 20,20

Obtenga en ambos casos la media aritmética muestral correspondiente. Interprete losresultados.
X media 1 = = …. 14 + 15 + 16 / 3 = 45 / 3 = 15,0

X media 2 = = …. 0 + 20 + 20 / 3 = 40 / 3 = 13,3

¿Es 15,0 una buena calificación para representar las notas del curso 1 y es 13,3 un buen representante del segundo curso?

Ejemplo
Si ocho familias tienen los ingresos mensuales en bolívares;
X1 = 5.880,00 X2 = 5.640,00 X3 = 5.830,00 X4 = 5.900,00
X5 = 5.900,00X6 = 5.720,00 X7 = 5.850,00 X8 = 5.700,00

Entonces, el ingreso promedio en bolívares es:
= = 46.420,00 / 8 = 5.802,50
Verificando la propiedad de que es la única medida de tendencia central donde la suma algebraica de las desviaciones de cada valor respecto a la media siempre es igual a 0
Desviación Algebraica de la Media Aritmética
i
(Xi - )
1
5.880,00
-
5.802,50
=77,50
2
5.640,00
-
5.802,50
=
-162,50
3
5.830,00
-
5.802,50
=
27,50
4
5.900,00
-
5.802,50
=
97,50
5
5.900,00
-
5.802,50
=
97,50
6
5.720,00
-
5.802,50
=
-82,50
7
5.850,00
-
5.802,50
=
47,50
8
5.700,00
-
5.802,50
=
-102,50


Suma Algebraica
 
0,00
Media Aritmética Ponderada
Es un caso particular de la media aritmética donde los datos de la poblacióno de la muestra se repiten. Es decir, cuando los datos están reagrupados en una distribución de frecuencia, se necesita que las frecuencias en cada clase estén condensadas en el punto central de la clase (clases no muy amplias). La frecuencia de cada término (punto central) representa el peso que debe tener en el cálculo de la media aritmética. De aquí la denominación de media aritmética...