Medidas de variabilidad

Medidas de Variabilidad o Dispersión
DATOS SIN AGRUPAR
Varianza y Desviación Estándar
La varianza es la medida de dispersión más utilizada, se define como la media aritmética de los cuadrados de las diferencias
(desviaciones) entre los valores que toma la variable y su promedio. Se suele notar con
para los datos de la muestra y
para los
datos de una población. En los datos sin agrupar lafórmula a utilizar es:

∑

En esta expresión
promedio de los

̅

representa el número de datos en la muestra,

̅

datos. El cuadrado de la diferencia

(2.1)

representa el valor correspondiente al -ésimo dato y

√

es el

mide la distancia que existe entre cada dato y el promedio.

La desviación estándar s define como la raíz cuadrada de la varianza. En consecuencia sunotación es
para los datos de una población.

∑

̅

̅

para los datos de la muestra y

(2.2)

La siguiente fórmula para la varianza se deduce de la fórmula (2.1) y se utiliza para simplificar los cálculos manuales:

∑

(2.3)

̅

Demostración:

∑
∑

̅
[

̅ ]
̅

∑

̅ ∑

∑
̅

Comentario [LYMH1]: Se desarrolla el
cuadrado
̅

∑
̅

̅

̅

Comentario [LYMH2]:Se separa la
sumatoria para cada término y se sacan las
constantes
Comentario [LYMH3]: Esto se tiene
porque:
∑

∑
̅

̅

̅
Por lo tanto si se pasa a multiplicar
∑

∑
̅

∑
̅

∑

̅

Y la expresión
̅
n veces una
constante se obtiene la expresión
̅
Comentario [LYMH4]: Se realiza la
multiplicación en el segundo término

̅

Ejemplo 1:

Comentario [LYMH5]: Se sumanlos
términos semejantes
Comentario [LYMH6]: Se separan los
términos dejando el mismo denominador
Comentario [LYMH7]: Se simplifica

Los datos que se relacionan a continuación son un grupo de presiones arteriales sistólicas medidas en mm de Hg (milímetros de
Mercurio) correspondientes a un grupo de pacientes:

120, 160, 150, 110, 170, 130, 125, 140, 125, 145
En esta muestra tenemos 10datos, por lo tanto

y

En la sección de medidas de tendencia central se cálculo el promedio ̅
fórmula (2.1):

∑

. Ahora calcularemos la varianza que está dada por la

̅
Comentario [YM8]: Primero debe
realizar la diferencia de cada dato con el
promedio, posteriormente elevar al
cuadrado el resultado de cada diferencia,
posteriormente realizar la suma y
finalmente la división como seilustra en el
procedimiento.

Si se aplica la fórmula (2.3), tenemos:

∑
̅

Comentario [YM9]: Primero debe
realizar el cuadrado de cada valor, luego la
suma en el numerador, después la división y
por último la diferencia, como se ilustra en
el procedimiento.

Este resultado que se obtiene de la varianza no esta en las mismas unidades de medida de la variable (mm de Hg) sino enunidades
cuadradas. Por lo tanto, para realizar la interpretación de la medida de dispersión calculamos la desviación estándar:
√
Interpretación: Los datos de la variables se encuentran concentrados (en promedio) alrededor del valor 137.5 mm de Hg a una
distancia de 17.92 mm de Hg. En el siguiente grafico se ilustra que no todos los datos de la variables están a esta distancia, pero si la
mayoría.Entre menor sea el valor de la desviación, más concentrados estarán los datos alrededor de la media y en consecuencia será
una medida más confiable como representante de los datos de la variable.
17.92

110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170

119.58

137.5

155.42

Actividad 1:Cálculo de la varianza y la desviación estándar haciendo uso de Excel

Las fórmulas para lavarianza (2.1), (2.3) y la desviación (2.2), se pueden calcular mediante los comandos que se ilustran en la
siguiente gráfica.
Observaciones:


Los datos de la variable se ingresaron la columna A, de la casilla A2 hasta la casilla A11.



Los datos de la columna B, de la casilla B2 hasta la casilla B11, representan el cuadrado de la diferencia de cada dato con el
valor promedio...