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RGA

1.3

Relative Gain Array (RGA)

Las ganancias relativas y el relative gain array[4],[5] son herramientas matemáticas muy útiles para evaluar la interacción entre las variables de entrada y de salida de un sistema físico tanto cuando se tienen sólo dos entradas y dos salidas, que es el caso real más comúnmente encontrado, como cuando se tiene en general n entradas y n salidas. Acontinuación se presentan estos conceptos, algunos

ejemplos de su aplicación y sus más importantes propiedades algebraicas y de control. 1.3.1 Ganancia relativa Un lazo simple de control está formado por la conexión de una variable controlada y una variable manipulada mediante un controlador. En un proceso multivariable, la ganancia a lazo abierto de una determinada variable controlada respecto auna variable manipulada dada puede cambiar cuando otras variables se colocan en control. Puede tener un valor cuando todos los demás lazos están abiertos, un valor diferente cuando uno de los otros lazos está cerrado, un tercer valor cuando dos de los otros lazos están cerrados, etc. Este concepto puede ser ilustrado para un proceso con dos pares de variables interactuantes usando la Figura 1.3.Si el lazo 2 se abre (m2 constante) al desabilitar su controlador, la ganancia a lazo abierto para el lazo 1 es:

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(las ecuaciones y figuras no están empiezan su enumeración orden correlativo, pero si están ordenadas )

c1 m1

 k11 g11
m2

(1.7)

donde k representa la ganancia en el estado estacionario y g el vector de ganancia dinámica. El cierre del lazo 2 forma un caminoparalelo de m1 a c1 a través de k21g21, el lazo 2, y k12g12. Considerando que c1 es afectado por ambas variables manipuladas:

c1  m1k11g11  m2 k12 g12
La variable m2 es conducida por su controlador

(1.8)

m2  r2  c2 k 2 g 2
el cual responde a la influencia de m1:

(1.9)

c2  m2 k 22 g 22  m1k 21g 21

(1.10)

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Figura 1.3.- Diagrama de bloques de un sistema multivariablede 2 x 2[4]

Combinando las tres ecuaciones anteriores se llega a una relación entre c1 y m1:

 r  m1 k 21 g 21  c1  m1 k11 g11   2  1 k g  k g k12 g12  22 22   2 2

(1.11)

La diferenciación de la expresión anterior nos da la ganancia a lazo abierto con el controlador 2 en automático:

dc1 k g k g  k11 g11  21 21 12 12 dm1 1 k 2 g 2  k 22 g 22

(1.12)

Si k21 o k12 seacerca a cero, la ganancia del lazo 1 se vuelve independiente de la acción del controlador 2. La ganancia del lazo 1 es también una función de los parámetros del controlador 2. A medida que k2g2 se acerca a cero, la ganancia del lazo 1 no se ve afectada por el lazo 2; en el otro extremo, cuando k2g2 se acerca al

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infinito – por ejemplo si k2g2 es un integrador acercándose al estacionario –la ecuación (1.12) se aproxima a:

c1 m1

 k11 g11 
c2

k 21 g 21k12 g12 k 22 g 22

(1.13)

Para ilustrar el potencial para la interacción, consideremos el caso en que todos los elementos dinámicos son iguales. Entonces (1.13) se reduce a:

c1 m1

 k11 g11 1  k 21k12 k11 k 22 
c2

(1.14)

Esta expresión aísla las características interactuantes en un solo grupo.Dividiendo la ganancia a lazo abierto con m2 constante entre aquella obtenida con c2 constante resulta la ganancia relativa 11:

11 

c1 m1 m c1 m1 c

2



1 1  k 21k12 k11 k 22

(1.15)

2

Si tenemos por ejemplo: k11 = 1, k12 = -2, k21 = 3, k22 = 4. Entonces 11 = 0.4. Para ganancias relativas entre cero y uno, el lazo 2 aumenta la ganancia del lazo 1, haciendo que estesea más sensible a la acción de control y más lento a responder completamente. Ganancias relativas mayores que la unidad mantienen la respuesta dinámica pero reducen la efectividad de la acción de control al reducir la ganancia del lazo. Ganancias relativas muy altas indican que el control será muy poco

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efectivo. Las ganancias relativas negativas representan un caso especial. Porque la...
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