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4.2.3 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN.

Cuando hacemos inferencias acerca de una proporción poblacional, también es importante comprender el comportamiento de las proporciones muestrales. Definimos la distribución de proporciones muestrales de la siguiente manera: distribución de probabilidad de proporciones muestrales, donde todas las muestras tiene el mismo tamaño “n”.

Uno de losusos clásicos de la estadística inferencial es el cálculo de alguna proporción muestral y su aplicación para hacer una inferencia acerca de la proporción poblacional. Encuestadores de la organización Gallup le preguntaron a 491 adultos que se seleccionaron al azar si estaban a favor de la pena de muerte para una persona que sentenciaron por homicidio. Los resultados mostraron que 319 individuos (oel 65% de ellos) se manifestaron a favor. El resultado muestral conduce a la inferencia de que “el 65% de todos los adultos están a favor de la pena de muerte para una persona sentenciada por homicidio”. La proporción muestral de 319/491 se utilizó para estimar una proporción poblacional “p”, pero aprenderemos mucho más si comprendemos la distribución muestral de dichas proporciones.

Enmuchos casos de los negocios y la economía se usa la proporción muestral “p” para hacer inferencias estadísticas sobre la proporción poblacional “P”. Este proceso se describe en la figura 2.4. Podemos predecir que en cada repetición del proceso obtendremos un valor distinto de la proporción de una muestra “p”. La distribución de probabilidad para todos los valores posibles de la proporción muestral“p” se llama distribución muestral de la proporción “p”.

Figura 2.4 Proceso estadístico para usar una proporción muestral para hacer
El valor de p se usa para hacer inferencias acerca del valor de P.
Se selecciona una muestra aleatoria simple de n elementos de la población.
Los datos muestrales proporcionan un valor de la proporción p de la muestra. .
Poblacióncon proporción
p = ?
inferencias acerca de una proporción poblacional.

Propiedades de la distribución de proporciones muestrales:
Las proporciones muestrales tienden a coincidir con el valor de la proporción poblacional.
En ciertas condiciones, la distribución de proporciones muestrales se aproxima a una distribución normal.

Paradeterminar lo cercano que está la proporción muestral “p” de la proporción poblacional “P”, es necesario comprender las propiedades de la distribución de “p”: su valor esperado, su desviación estándar y la forma de su distribución.

El valor esperado de “p”, la media de todos los valores posibles de “p”, se puede expresar como sigue:

E(p) = P

Donde:
E(p) = valor esperado de p
P= proporción poblacional

La desviación estándar de “p” se llama error estándar de la proporción. Igual que en el caso de la media de la muestra , la desviación estándar de p depende de si la población es finita o infinita.

Población finita Población Infinita



Donde: q = 1 – p

Seguiremos la misma regla parala media de muestra, es decir, si la población es finita y n/N ≤ 0.05, se utiliza la fórmula para población infinita. Sin embargo, si la población es finita y n/N ≥0.05, se debe usar el factor de corrección para la población finita.

La distribución muestral de”p” se puede aproximar con una distribución de probabilidad normal, siempre que el tamaño de la muestra sea grande. En el caso de “p”, sepuede considerar que el tamaño de la muestra es grande cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:
np ≥ 5
nq ≥ 5

Ejemplo. (De distribución muestral de una proporción). Al director de personal de Electronics Associates, Inc. (EAI) se le ha asignado la tarea de elaborar un perfil de los 2500 gerentes de la empresa. Las características por identificar son, entre otras, el...
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