Metodo Anulador

Malditos piden aportes y uno tinene que hacer tantas mierdas para conseguir una puta tarea.


METODO DE OPERADOR ANULADOR
Sea:
F(D):(P_0 D^n+P_1 D^(n-1)+P_2 D^(n-2)+⋯+P_(n-2) D^2+P_(n-1) D+P_n)∙{y}=Q_((x))
F(D)=operador diferencial lineal normal de orden n de coeficientes constantes
Este método consiste en hallar un operador diferencial de coeficientes constantes F_1 (D) que anule aQ_((x)). Esto es:
F_1 (D)∙(P_0 D^n+P_1 D^(n-1)+P_2 D^(n-2)+⋯+P_(n-2) D^2+P_(n-1) D+P_n )∙{y}=F_1 (D)∙〖{Q〗_((x) )}
F_1 (D)∙(P_0 D^n+P_1 D^(n-1)+P_2 D^(n-2)+⋯+P_(n-2) D^2+P_(n-1) D+P_n )∙{y}=0
Nóteseque la nueva ecuación diferencial de coeficientes constantes de orden n ya es homogénea.
Nota: Este método se puede usar para resolver F∙{y}=Q_((x)) cuando Q_((x)) tiene la forma:e^ax,cos⁡ax,sin⁡ax,x^n ;n∈ N a=ctte y/o sus combinaciones 〖x^n e〗^ax,〖e^ax cos〗⁡ax,x^n sin⁡ax.
Ahora veamos como un operador diferencial de coeficientes constantes F(D) anula a Q_((x))
EJEMPLO 1.
Hallar un operadordiferencial de coeficientes constantes F(D) que anule a Q_((x))
a) Q_((x))=3x^2 e^(-6x)
b) Q_((x))=2cos4x
c) Q_((x))=4e^(-7x) sen8x
d) Q_((x))=7x^3+8e^2x
Para resolver la ecuación diferencialF∙{y}=Q_((x) ) (1)
Primero: Se halla y_h= solución homogénea de F∙{y}=0
y_h=c_1 y_1+c_2 y_2+⋯+c_n y_n
Segundo: Se busca un operador diferencial de coeficientes constantes F_1 (D) que anule aQ_((x)).
Tercero: Para y_p=solución particular
F_1∙F{y}=F_1∙{Q_((x) )}
F_1∙F{y}=0 (2)
(2) = nueva ecuación diferencial de coeficientes constantes
- Como (1) y (2) son ecuacionesequivalentes se deduce:
y_(h(1))=y_(p(2))=y_p
y_p= k_1 y_1+k_2 y_2+⋯+k_n y_n+k_(n+1) y_(n+1)+⋯+k_r y_r las funciones y_1,y_2,…,y_n que son parte de (1); no se toman en cuenta por que se anulan.Entonces
y_p= k_(n+1) y_(n+1)+⋯+k_r y_r
Donde k_(n+1), k_r son coeficientes indeterminados que se calculan reemplazando “y_p” y sus derivadas en (1) e interpretando la expresión resultante como...