Metodo de birstow

METODO DE BAIRSTOW

Objetivo general y particulares
En análisis numérico, el método de Bairstow es un algoritmo eficiente de búsqueda de las raíces de un polinomio real de grado arbitrario. Es un método iterativo, basado en el método de Müller y de Newton Raphson

INTRODUCCION
El método de Bairstow es un método iterativo, basado en el método de Müller y de Newton Raphson. Dado un polinoniofn(x) se encuentran dos factores, un polinomio cuadrático f2(x) = x2 – rx – s y fn-2(x).

DESARROLLO DEL METODO
 

1. Dado fn(x) y r0 y s0
2. Utilizando el método de NR calculamos f2(x) = x2 – r0x – s0 y fn-2(x), tal que, el residuo de fn(x)/ f2(x) sea igual a cero.
3. Se determinan la raíces f2(x), utilizando la formula general.
4. Se calcula fn-2(x)= fn(x)/ f2(x).5. Hacemos fn(x)= fn-2(x)
6. Si el grado del polinomio es mayor que tres regresamos al paso 2
7. Si no terminamos

La principal diferencia de este método, respecto a otros, es que permite calcular todas las raíces de un polinomio (reales e imaginarias).
 
Para calcular la división de polinomios, hacemos uso de la división sintética. Así dado
 
fn(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 +a1x + a0
 
Al dividir entre f2(x) = x2 – rx – s, tenemos como resultado el siguiente polinomio
 
fn-2(x) = bnxn-2 + bn-1xn-3 + … + b3x + b2
 
con un residuo R = b1(x-r) + b0, el residuo será cero solo si b1 y b0 lo son.
 
Los términos b, los calculamos utilizamos división sintética, la cual puede resolverse utilizando la siguiente relación de recurrencia
 
bn = an
bn-1 = an-1 + rbn
bi= ai + rbi+1 + sbi+2
 
 
Una manera de determinar los valores de r y s que hacen cero el residuo es utilizar el Método de Newton-Raphson. Para ello necesitamos una aproximación lineal de b1 y b0 respecto a r y s la cual calculamos utilizando la serie de Taylor
 

 
donde los valores de r y s están dados y calculamos los incrementos dr y ds que hacen a b1(r+dr, s+ds) y b0(r+dr, s+dr) iguala cero. El sistema de ecuaciones que tenemos que resolver es:
 
 

 
 
Bairtow muestra que las derivadas parciales pueden obtener haciendo un procedimiento similar a la división sintética, así
 
cn = bn
cn-1 = bn-1 + rcn
ci = bi + rci+1 + sci+2

Donde
 

Sustituyendo término
 

PROBLEMA RESUELTO

Ejemplo 1
 
Dado el polinomio f5(x) = x5 - 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 - 3.875x+ 1.25, determinar los valores de r y s que hacen el resido igual a cero. Considere r0 = -1 y s0 = 2.
 
Solución.
 
Iteración 1.
 
La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -x + 2.0 da como resultado
 
f3(x) = x3 - 4.5x2 + 9.25x - 16.125 Residuo = {30.75, -61.75}
 
Aplicando el método de Newton tenemos
 
 
-43.875 | 16.75 |   | dr |   | -30.75 |
108.125 | -43.875 |  | ds |   | 61.75 |
 
de donde
 
r1 = -1.0 + 2.7636812508572213 =1.7636812508572213
s1 = 2.0 + 5.403374022767796 =7.403374022767796
 
Iteración 2.
 
La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -1.7636812508572213x - 7.403374022767796 da como resultado
 
f3(x) = x3 - 1.7363187491427787x2 + 7.091061199392814x - 1.776754563401905
 
Residuo = {51.75640698828836,105.68578319650365}
 
Aplicando el método de Newton tenemos
 
27.628006 | 14.542693 |   | dr |   | -51.75640 |
208.148405 | 27.62800 |   | ds |   | -105.68578 |
 
de donde
 
r2 = 1.7636812508572213 - 0.04728019113442016 = 1.7164010597228012
s2 = 7.403374022767796 - 3.469106187802152 = 3.934267834965644
 
Iteración 3.
 
La división sintética con el polinomio f2(x)= x2 - 1.7164010597228012x -3.934267834965644 da como resultado
 
f3(x) = x3 - 1.7835989402771988x2 + 3.622896723753395x + 1.3261878347051992
 
Residuo = {12.654716254544885, 28.1881465309956}
 
Aplicando el método de Newton tenemos
 
13.83497 | 7.44182 |   | dr |   | -12.65471 |
65.679212 | 13.83497 |   | ds |   | -28.18814 |
 
de donde
 
r3 = 1.7164010597228012 - 0.11666951305731528 = 1.599731546665486
s3...