Metodo De Convolucion

C APÍTULO

6
La transformada de Laplace

6.7 Teorema de Convolución y la delta de Dirac
En el análisis de sistemas lineales, como en los sistemas vibratorios (mecánicos y eléctricos), uno de los
objetivos es conocer la respuesta (o salida) del sistema provocada por una función de excitación (o entrada).
En secciones anteriores modelamos sistemas vibratorios mediante ecuacionesdiferenciales de la forma
˛x 00 .t/ C ˇx 0 .y/ C x.t/ D f .t/;
donde f .t/ es una función de excitación (o entrada) del sistema, mientras que x.t/ es la respuesta (o salida)
a esta excitación. De esta manera, el propósito de resolver un PVI es determinar cómo la ED (una caja negra)
transforma una función de entrada f .t/ en una salida x.t/ cuando se conocen las condiciones iniciales x.0/
& x 0 .0/. Lasiguiente figura es una representación de estos elementos

f .t/

ED

x.t/
Salida o respuesta

Entrada o excitación

En este capítulo, un PVI
˛x 00 .t/ C ˇx 0 .y/ C x.t/ D f .t/;

con

x.0/ D 0 & x 0 .0/ D 0:

(6.1)

ha sido resuelto, aplicando TL a la ED anterior. No obstante, existen problemas que llevan a PVI similares a
(??), los cuales no siempre permiten encontrar lasolución de manera directa. La razón es que no se conoce,
con precisión, cómo afecta la caja negra a la función de entrada. Para resolver este tipo de incógnitas, se introducen al sistema funciones de entrada que se conocen como impulsos y, una vez conocida la respuesta a
estos impulsos, se obtiene la salida x.t/ mediante una operación llamada convolución que es una extensión,
básicamente, de lapropiedad de superposición.
1. canek.azc.uam.mx: 24/ 9/ 2010

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2

Ecuaciones diferenciales ordinarias

La delta de Dirac
Consideremos una fuerza f .t/ que actúa sólo durante un intervalo de tiempo muy pequeño a Ä t Ä b , con
f .t/ D 0 para todo valor de t fuera del intervalo. Ejemplos típicos de este tipo de fuerzas serían la fuerza
impulsiva de un bate que golpea una pelota (elimpacto es casi instantáneo) o bien un rápido aumento de
voltaje (resultante de la descarga de un rayo), por ejemplo. En tales situaciones, el principal efecto de la
fuerza depende sólo del valor de la integral
b

pD

(6.2)

f .t/dt
a

y ése no es influenciado por la forma precisa en que varía f .t/. El número p de la ecuación (??) se llama
impulso de la fuerza f .t/ sobre el intervalo Œa;b.
Ahora bien, en el caso de una fuerza f .t/ que actúa sobre una partícula de masa m constante, se tiene por
la segunda ley de Newton:
d
f .t/ D mv 0 .t/ D
Œmv.t/:
dt
De donde, por el teorema Fundamental del Cálculo:
b

pD

a

b

f .t/ dt D

a

d
Œmv.t/dt D mv.t/
dt

b
a

D mv.b/

mv.a/:

A cada término en el miembro derecho del resultado anterior se le llamamomento lineal, así que el impulso
de la fuerza es igual a la variación del momento lineal de la partícula. En la práctica, el cambio en el
momento lineal es el único efecto que interesa, por lo tanto sólo necesitamos conocer el impulso de la
fuerza; no necesitamos conocer ni la función precisa f .t/ ni el lapso exacto durante el cual actúa la fuerza.
Si ahora seleccionamos un número fijo " > 0 quese aproxime a la duración de ese lapso y reemplazamos a
f .t/ por

1
 ; si a Ä t Ä a C "I

"
ıa;" .t/ D
(6.3)


0; si t … Œa; a C " I

entonces, para b D a C ", el impulso de ıa;" .t/ sobre el intervalo Œa; b es
b

pD

a

a C"

ıa;" .t/dt D

a

1
dt D 1:
"

Así, f .t/ D ıa;" .t/ tiene un impulso unitario, cualquiera que sea el número " > 0.
Observemos elcomportamiento de ıa;" .t/ cuando " ! 0, por medio de las siguientes gráficas:
ıa;" .t /

ıa;" .t /

ıa;" .t /

¥

¢

t

£¤

£¤

 ¡

"D1

t

a aC"
"D

1
2

¦§

aC"

t

¦§

¢
 ¡

a

¥

1

¨

2

¨

5

aa C"
"D

1
5

6.7 Teorema de Convolución y la delta de Dirac

3

Como el lapso preciso durante el cual actúa la fuerza no parece ser...