Metodo de Gauss

METODO DE GAUSS - JORDAN
Este método utiliza las mismas técnicas de eliminación Gaussiana (incluyendo el pivoteo), pero con el objetivo de finalizar con una matriz de la siguienteforma:
 
donde es la matriz identidad de .


Para lograr esto, se usa la técnica del pivoteo con la única diferencia que el pivote se usa para hacer ceros hacia abajo y haciaarriba. 
Ejemplo 1:     Usar el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema:


Solución. Comenzamos con la matriz aumentada:


Procedemos a hacer el primer pivoteo, y para ello,intercambiamos los renglones 1 y 2:


y haciendo ceros debajo del pivote, obtenemos:

~ 
Ahora, para colocar adecuadamente el segundo pivote intercambiamos los renglones 2 y 3:


Parahacer ceros arriba del pivote 1.25, multiplicamos el renglón 2 por y se lo sumamos al renglón 1; para hacer ceros debajo del mismo pivote, multiplicamos al mismo renglón 2 por y se lo sumamos alrenglón 3 . Todo esto nos da:


Ahora procedemos a hacer ceros arriba del pivote 0.09 . Para ello, multiplicamos el renglón 3 por y se lo sumamos al renglón 2; igualmente multiplicamos elrenglón 3 por y se lo sumamos al renglón 1. Todo esto nos da:


Finalmente para hacer los 1’s ( unos ) en la diagonal principal, multiplicamos los renglones 1 , 2, y 3 por y ,respectivamente. Obtenemos entonces la matriz final:


La cual nos da la solución del sistema de ecuaciones:



Ejemplo 2.     Usar el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema:Solución.     Escribimos la matriz aumentada del sistema:


Observamos que el primer elemento pivote está bien colocado y por lo tanto no hay necesidad de intercambiar renglones. Por lo tanto hacemosceros debajo del pivote ; para ello, multiplicamos el renglón 1 por 0.4 y se lo sumamos al renglón 2, y también multiplicamos el mismo renglón 1 por –0.5 y se lo sumamos al renglón 3. Esto nos...