Metodo de Integracion- Metodos Numericos

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Universidad Peruana Unión
Ingeniería
Métodos Numéricos y Programación

Laboratorio ...
0.1.

Integración numérica

Sabemos que si una función f : R 7→ R es continua en el intervalo [a,b] , entonces tal función tiene
antiderivada F en [a, b] , es decir
F0 (x) = f(x),

y

Zb

x ∈ [a, b]

f(x)dx = F(b) − F(a)

a

Sin lugar a dudas, esto constituyó uno de los más grandesdescubrimientos dentro del cálculo infinitesimal. Pero es casi improbable calcular la integral de una función arbitraria f. En este capítulo
veremos algunos de los más populares métodos numéricos paracalcular integrales definidas.
La idea básica de los métodos numéricos consiste en establecer una partición uniforme {x0 , x1 , ..., xn−1 , xn }
del intervalo de integración [a, b] :
a = x0 , x1 ,..., xn−1 , xn = b

(1)

donde x0 < x1 · · · < xn y h = x1 − x0 = x2 − x1 = · · · = xn − xn−1 = (b − a)/n. Posteriormente,
sustituir la función f por polinomios que la aproximen razonablemente enel intervalo [a, b] . Así, el
problema se resumiría a la integración de polinomios, lo cual es trivial.

0.2.

Método de los Trapecios

Si usamos la fórmula de Lagrange para aproximar f por unpolinomio p1 de grado uno en x0 y
x1 , tenemos
¶
Z x1
Z x1
Z x1 µ
x − x0
x − x1
f(x0 ) +
f(x1 ) dx
f(x)dx ≈
p1 (x)dx =
−h
h
x0
x0
x0
h
=
(f(x0 ) + f(x1 )) = T
2
Observe que,cuando f sobre [x0 , x1 ] está por encima del eje de las abscisas, T puede ser interpretada
como el área del trapecio mostrado en la figura 2.1, la cual es una aproximación para el valor de la

2integral de f en [x0 , x1 ] . Mientras más pequeño sea h, mejor será la aproximación.

Figura 2.1:
Podemos repetir ese procedimiento para cada uno de los subintervalos generados por la particiónuniforme, así
Zb
a

f(x)dx =

n−1 Z x k + 1
X
k=0 x k

f(x)dx ≈

n−1
X
k=0

n−1

h
hX
(f(xk ) + f(xk+1 )) =
(f(xk ) + f(xk+1 ))
2
2
k=0

Note además que xk = x0 + kh = a + kb,...