métodos de integracion

INTRODUCCIÓN.

En esta sección, ya con la ayuda del Teorema Fundamental del Cálculo, desarrollaremos las Principales técnicas de Integración que nos permitirán encontrar las integrales indefinidas De una clase muy amplia de funciones. En cada uno de los métodos de integración, se Presentan ejemplos típicos que van desde los casos más simples, pero ilustrativos, que nos Permiten llegar demanera gradual hasta los que tienen un mayor grado de dificultad. Estudiaremos los principales métodos de integración, consistiendo todos ellos en reducir la Integral buscada a una integral ya conocida, como por ejemplo una de las de la tabla, o bien Reducirla a una integral más sencilla.














MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Uno de los dos procedimientos más habituales para laresolución de integrales complicadas es el llamado método de sustitución o de cambio de variable. Esta técnica consiste en introducir una nueva variable t para sustituir a una expresión apropiada del integrando, de manera que la expresión resultante sea más fácil de integrar. Por ejemplo, la integral:

Se simplifica notablemente si se aplica el cambio t = sen x. Entonces, se cumpliría que dt = cosx dx, con lo que la integral quedaría reducida a:

Finalmente se desharía el cambio de variable, con lo que el resultado final sería:


INTEGRACIÓN POR PARTES
El método de la integración por partes se emplea para simplificar el cálculo de la integral de un producto de funciones que puedan interpretarse como del tipo u (x) × v¿ (x). La fórmula de la integración por partes es la siguiente:Este método resulta indicado particularmente cuando v × du es más fácil de integrar que u × dv.

Cálculo de áreas
La integral de una función continua entre los dos extremos de un intervalo [a, b] y tal que f (x) ³ 0 " x Î [a, b] coincide con el área comprendida entre dicha función, el eje horizontal y las dos rectas que delimitan los intervalos, de ecuaciones x = a y x = b.
Este principiopuede servir también para calcular las áreas comprendidas entre curvas, por simples operaciones aritméticas de adición y sustracción.

La integral de f (x) en el intervalo [a, b] coincide con el valor del área R.
Por convenio, dicha área se dice que es positiva cuando f (x) ³ 0 en el intervalo, y negativa si f £ 0 en [a, b]. Cuando la función tiene signo variable, las partes de la misma situadaspor encima del eje horizontal añadirán valor positivo al área global, y las que discurran por debajo sumarán valores negativos a la misma.

Áreas formadas por dos curvas. Por consideraciones geométricas, el área de la intersección se calcula restando a la integral de f (x) en el intervalo [-1, 1] el valor de la integral de g (x) para ese mismo intervalo.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
En ocasiones, elcálculo de una integral definida en un intervalo resulta tan complicado que se hace casi irresoluble. En estos casos, se puede aplicar un método de integración numérica aproximada, consistente en dividir el intervalo de definición en un conjunto de subintervalos iguales, de manera que se trazan sus imágenes sobre la curva y se unen todos puntos imagen mediante segmentos rectilíneos.
Siendo f (x) lafunción de origen, y [a, b] el intervalo de integración, que se puede dividir en n subintervalos iguales de amplitud h tales que a = x0 < x1 < x2 < ¿ 1 y el grado de P(x) es menor que n, entonces pueden encontrar constantes reales únicas C1, C2, …, Cn, tales que

Caso III Factores cuadráticos irreducibles no repetidos
Se supone que el denominador de la función racional P(x) /Q(x) se puedeexpresar como un producto de factores cuadráticos irreducibles distintos si el grado de P(x) es menor que 2n, es posible encontrar constantes reales únicas A1, A2,…..An, B1,B2,…Bn, tales que


Caso IV Factores cuadráticos irreducibles repetidos
Este último caso considera al integrando en donde es irreducible y n>1. Si el grado de P(x) es menor que 2n, se pueden encontrar constantes reales...