Metodo De Jacobi

Metodo de Jacobi

INTRODUCCION.
Los sistemas de ecuaciones lineales no solamente se pueden realizar analíticamente, también se puede recurrir a los métodos numéricos. En el caso de los sistemas de ecuaciones tenemos lo que es el método de Jacobi, el cual utiliza las aproximaciones sucesivas (o en otras palabras iteraciones) para encontrar los valores aproximados de un sistema propuesto.

EnQue Consiste El Método De Jacobi
El método de Jacobi consiste en realizar iteraciones, el número que sea necesario hasta encontrar un valor aproximado al valor real para la solución del sistema de ecuaciones.
Definición Método De Jacobi

El método de Jacobi es un método iterativo para sistemas de ecuaciones lineales ya sea 2X2, 3X3 etc. A partir de un sistema de ecuaciones lineales, sedespeja una incógnita de cada ecuación y se le dan valores a dichas incógnitas para así hacer iteraciones y con esto aproximarnos al resultado más aproximado al que se desea.

Condición Para La Resolución De Ecuaciones Por El Método De Jacobi
Para que un sistema de ecuaciones pueda resolverse por el método de Jacobi, este debe de tener el mismo numero de variables que de ecuaciones, es decir, quesea de 2X2, 3X3,…,nXn. Si el sistema de ecuaciones no cumple con esta condición, se tendrá que buscar otro tipo de método.

Aplicación del Método de Jacobi
Se propone encontrar la solución al siguiente sistema de ecuaciones:
Ec. 1: 5X + 2Y = 1
Ec. 2: X - 4Y = 0
De las ecuaciones anteriores, despejamos x en la Ec.1 y y en la Ec.2:
Ec. 1: x=1-2y5
Ec. 2: y=0-x-4
Teniendo despejadasnuestras ecuaciones, procedemos a dar valores a X y Y para encontrar sus respuesta por lo que usaremos en este caso X=1 y Y= 2.
Después, pasamos a hacer las iteraciones necesarias:
Iteración No.1
Iteración | X | Y | Xi | Yi | Diferencia |
1 | 1 | 2 | | | |
x=1-225= -0.6 y=0-1-4=0.25
En nuestra primera iteración tenemos que X = -0.6 y Y= 0.25
Iteración | X | Y | Xi | Yi | X - Xi | Y–Yi |
1 | 1 | 2 | -0.6 | 0.25 | 1.600 | 1.750 |
| | | | | | |


Criterio de Parada.
Con el método de Jacobi, se tiene que tener un criterio de parada, para saber que la ecuación se esta acercando a la solución exacta, por lo que se debe de realizar la siguiente operación:
C.P = X-Xi y Y-Yi
El criterio de parada nos dirá que tan exacto es la solución al valor real de la ecuaciónpor lo que se debe de tener en cuenta que la diferencia de estos dos deben ser de igual magnitud para saber que se cumple.
Iteración | X | Y | Xi | Yi | X - Xi | Y –Yi |
1 | 1 | 2 | -0.6 | 0.25 | 1.600 | 1.750 |
| | | | | | |

Como podemos visualizar, el criterio de parada en la primera iteración es demasiado grande, por lo que se necesita seguir iterando para reducirlo.Iteración No. 2
Iteración | X | Y | Xi | Yi | X - Xi | Y –Yi |
1 | 1 | 2 | -0.6 | 0.25 | 1.600 | 1.750 |
2 | -0.6 | 0.25 | | | | |

x=1-20.255= 0.10 y=0-(-0.6)-4=-0.15
Iteración | X | Y | Xi | Yi | X - Xi | Y –Yi |
1 | 1 | 2 | -0.6 | 0.25 | 1.600 | 1.750 |
2 | -0.6 | 0.25 | 0.10 | -0.15 | -0.700 | 0.400 |

Iteración No.3
x=1-2-0.155= 0.26 y=0-(0.10)-4=0.25
Iteración | X| Y | Xi | Yi | X - Xi | Y –Yi |
1 | 1 | 2 | -0.6 | 0.25 | 1.600 | 1.750 |
2 | -0.6 | 0.25 | 0.10 | -0.15 | -0.700 | 0.400 |
3 | 0.10 | -0.15 | 0.26 | 0.025 | -0.160 | -0.175 |


Iteración No. 4
x=1-20.0255= 0.19 y=0-(0.26)-4=0.065
Iteración | X | Y | Xi | Yi | X - Xi | Y –Yi |
1 | 1 | 2 | -0.6 | 0.25 | 1.600 | 1.750 |
2 | -0.6 | 0.25 | 0.10 | -0.15 | -0.700 | 0.400 |
3 |0.10 | -0.15 | 0.26 | 0.025 | -0.160 | -0.175 |
4 | 0.26 | 0.025 | 0.19 | 0.065 | 0.070 | -0.040 |

Iteración No. 5
x=1-20.0655= 0.174 y=0-(0.19)-4=0.0475
En este caso solo usaremos tres dígitos después del punto por lo que debemos de redondear de 0.0475 a 0.048.
Iteración | X | Y | Xi | Yi | X - Xi | Y –Yi |
1 | 1 | 2 | -0.6 | 0.25 | 1.600 | 1.750 |
2 | -0.6 | 0.25 | 0.10 |...