Metodo De Jacobi

 Método de Jacobi
En análisis numérico el método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo Ax = b. El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Gustav_Jakob_Jacobi"Jacobi.

Descripción
La base del método consiste en construir una sucesión convergente definida iterativamente.El límite de esta sucesión es precisamente la solución del sistema. A efectos prácticos si el algoritmo se detiene después de un número finito de pasos se llega a una aproximación al valor de x de la solución del sistema.
La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema en la forma siguiente:

donde
, es una matriz diagonal.
, es una matriz triangular inferior.
, es una matriztriangular superior.
Partiendo de , podemos reescribir dicha ecuación como:

Luego,

Si aii ≠ 0 para cada i. Por la regla iterativa, la definición del Método de Jacobi puede ser expresado de la forma:

donde k es el contador de iteración, Finalmente tenemos:

Cabe destacar que al calcular xi(k+1) se necesitan todos los elementos en x(k), excepto el que tenga el mismo i. Por eso, al contrario que en elmétodo Gauss-HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Gauss-Seidel"Seidel, no se puede sobreescribir xi(k) con xi(k+1), ya que su valor será necesario para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia más significativa entre los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. La cantidad mínima de almacenamiento es de dos vectores de dimensión n, y será necesario realizar un copiado explícito.Convergencia
El método de Jacobi siempre converge si la matriz A es estrictamente diagonal dominante y puede converger incluso si esta condición no se satisface. Es necesario, sin embargo, que los elementos de la diagonal en la matriz sean mayores (en magnitud) que los otros elementos.
Algoritmo
El método de Jacobi se puede escribir en forma de algoritmo de la siguiente manera:
Algoritmo Método deJacobi
función Jacobi (A, x0)
//x0 es una aproximación inicial a la solución//
para hasta convergencia hacer
para hasta hacer

para hasta hacer
si entonces

fin para

fin para
comprobar si se alcanza convergencia
fin para




Método de Gauss-Seidel
En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama asíen honor a los matemáticos alemanes Carl HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss"FriedrichHYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" Gauss y PhilippHYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Philipp_Ludwig_von_Seidel" Ludwig von HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Philipp_Ludwig_von_Seidel"Seidel y es similar al método de HYPERLINK"http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Jacobi"Jacobi.
Descripción
Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:

El método de iteración Gauss-Seidel es

donde
para i=j, o para .
y

Esto es tambiénque :
Si
definimos

y
.
Considerando el sistema Ax=b, con la condición de que , i= 1, ..., n. Entonces podemos escribir la fórmula de iteración del método
, i=1,...,n(*)
La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último, las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta completar las iteraciones.
Convergencia
Teorema: Suponga una matriz es una matriz no singular que cumple lacondición de
ó .
Entonces el método de Gauss-Seidel converge a una solución del sistema de ecuaciones Ax=b, y la convergencia es por lo menos tan rápida como la convergencia del método de Jacobi.
Para ver los casos en que converge el método primero mostraremos que se puede escribir de la siguiente forma:
(**)
(el término es la aproximación obtenida después de la k-ésima iteración) este modo de...