Metodo de jacobi

INTRODUCCION

Existe una gran variedad de metodos alternatives para resolver problemas de valores propios. La mayoría se basa en un proceso de 2 pasos. El primer paso consiste en transformar lamatriz original en una forma mas simple (por ejemplo, tridiagonal), que conserve todos los valores propios originales. Después, se usan métodos iterativos para determinar estos valores propios.
Mucho deestos procedimientos están disenados para tipos especiales de matrices. En particular, varias técnicas se dedican a la solución de sistemas simetricos. Por ejemplo, el método de Jacobi.

En queconsiste?
El método de Jacobi transforma una matriz simetrica en una matriz diagonal, al eliminar de forma sistematica los términos que están fuera de la diagonal. Por desgracia, el método requiere unenorme numero de operaciones, ya que la eliminación de cada elemento distinto de cero, a menudo crea un nuevo valor distinto de cero en un elemento previamente anulado. A pesar de que se requieremuchísimo tiempo para eliminar todos los elementos distintos de cero fuera de la diagonal, finalmente la matriz tendera hacia una forma diagonal. Asi, el procedimiento es iterativo en el sentido de que serepite hasta que los términos que están fuera de la diagonal son suficientemente pequeños.

PROPIEDADES

Convergencia y convergencia en Jacobi
Uno de los principales problemas de los métodositerativos es la garanta de que el método va a converger, es decir, va a producir una sucesión de aproximaciones cada vez efectivamente mas próximas a la solución. En el caso del método de Jacobi noexiste una condición exacta para la convergencia. Lo mejor es una condición que garantiza la convergencia, pero en caso de no cumplirse puede o no haberla es la siguiente:
Si la matriz de coeficientesoriginal del sistema de ecuaciones es diagonalmente dominante, el
método de Jacobi seguro converge.

Matriz Diagonalmente Dominante
Una matriz se dice matriz diagonalmente dominante, si en cada...