Metodo de newton raphson

Unidad V

I Introduccion a las ecuaciones diferenciales parciales

6.1 Definiciones (ecuación diferencial parcial, orden y linealidad).
Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene diferenciales o derivadas de una o más variables.
 Una ecuación Diferencial Ordinaria. Es aquella ecuación que contiene solo derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto auna sola variable independiente.
Ejemplos:
 
El orden  de una ecuación diferencial esta determinado por el orden de la derivada más grande dentro de la ecuación diferencial.
 

Ecuaciones Diferenciales Parcial. Son aquellas ecuaciones que contienen derivadas parciales dependientes de dos o más variables independientes. Ejemplo:
 

 

Una ecuación ordinaria o parcial se puede clasificar según el orden, es decir, de acuerdo a la derivada más alta en la ecuación.
 Ejemplos:
 

Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.
 Otro ejemplo pero en derivadas parciales es el que a continuación se presenta, se trata de una ecuación diferencial parcial de tercer orden

 En general, una ecuación diferencial ordinaria de orden n se representa como:
 

 A continuación seabordara otro clasificación, la cual corresponde a la linealidad o no linealidad.
 Recordemos que una ecuación se dice lineal si
 

Donde los ai no todos son cero.
En el caso de la ecuación diferencial la linealidad es caracterizada por la forma
 
Donde  es una función de x no cero.
 Se observan dos características en dicha forma: la variable dependiente, en este caso la variable y,junto todas sus derivadas son de primer grado, es decir, la potencia en y es 1; por otro lado, cada coeficiente depende solo de la variable dependiente de x.
6.2 Forma general de una ecuación diferencial parcial de segundo orden.

Para desarrollar sistemáticamente la teoría de las ecuaciones diferenciales, es útil clasificar los diferentes tipos de ecuaciones. Una de las clasificaciones mas obviasse basa en si la función desconocida depende de una o de varias variables independientes. En el primer caso solo aparecen derivadas ordinarias en la ecuación diferencial y se dice que es ecuación diferencial ordinaria. En el segundo caso, las derivadas son parciales y la ecuación se llama ecuación diferencial parcial.
Ejemplos de las ecuaciones diferenciales ordinarias:
* ORDEN.
El orden deuna ecuación diferencial ordinaria, es igual al de la derivada de mas alto orden que aparece en la ecuación. Por lo tanto, la ecuación (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.
El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo,
d2y + 5 [dy]3 - 4y = ex
dx2 dx
es una ecuacióndiferencial de segundo orden.
* GRADO.
Es la potencia a la que esta elevada la derivada mas alta, siempre y cuando la ecuación diferencial este dada en forma polinomial.
Hay otra clasificación importante de las ecuaciones diferenciales ordinarias la cual se basa en si éstas son lineales o no lineales. Se dice que la ecuación diferencial
Es lineal cuando F es una función lineal en las variablesy,y´,y(n). Por lo tanto, la ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n es . 3.-
La ecuación que no es de la forma (3), es un ecuación no lineal. 
Una ecuación diferencial en derivadas parciales (PDE), por su semejanza con las ODE, es una ecuación donde una cierta función incógnita u viene definida por una relación entre sus derivadas parciales con respecto a las variables independientes.Si u = u(x,y,z), una ecuación diferencial en derivadas parciales sería

Se denomina orden de la PDE al más alto grado de derivación parcial que aparece en la expresión.
Así (1)

es una PDE de 2 orden, mientras que (2)

es una PDE de primer orden.

La ecuación (1) es lineal ya que u y sus derivadas aparecen sin multiplicarse y no aparecen elevadas a potencias. La ecuación (2) es,...