Metodo De Simpson

UNIVERSIDAD TECNICA DE MANABI
UNIVERSIDAD TECNICA DE MANABI

Ciencias Matemáticas, Físicas Y Químicas

PROYECTO DE INVESTIGACION
MATERIA:
MATERIA:

metodos numericos
metodos numericos

CARRERA:
CARRERA:

INGENIERÍA CIVIL
INGENIERÍA CIVIL


4TO “C”





PORTOVIEJO – MANABÍ
2012-2013

REGLAS DE SIMPSON
REGLAS DE SIMPSON

Además de aplicar laregla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre f(a) y f(b), entonces los tres puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden. A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios seles llaman Reglas de Simpson.

REGLA DE SIMPSON 1/3
La Regla de Simpson de 1/3 proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Por ejemplo, el área contenida en dos fajas, bajo la curva f(X) en la fig. 2, seaproxima mediante el área sombreada bajo una parábola que pasa por los tres puntos:

(Xi , Yi)
(Xi+1, Yi+1)
(Xi+2, Yi+2)

 

Por conveniencia al derivar una expresión para esta área, supongamos que las dos fajas que comprenden el área bajo la parábola se encuentran en lados opuestos del origen, como se muestra en la fig. 3. Este arreglo no afecta la generalidad de la derivación.

Laforma general de la ecuación de la parábola de segundo grado que conecta los tres puntos es:

   (7)

La integración de la ec. (7) desde - hasta  proporciona el área contenida en las dos fajas mostradas bajo la parábola. Por lo tanto:

   (8)

 

La sustitución de los límites en la ec. (8) produce:

   (9)

Las constantes a y c se pueden determinar sabiendo que los puntos
,(0, Yi + 1 ), y deben satisfacer la ec. (7).
La sustitución de estos tres pares de coordenadas en la ec. (7) produce:

   (10)

La solución simultánea de estas ecuaciones para determinar las constantes a, b, c, nos lleva a:

   (11)

La sustitución de la primera y tercera partes de la ec. (11) en la ec. (9) produce:

   (12)

que nos da el área en función de tres ordenadas Yi,Y i+1, Y i+2 y el ancho  de una faja.

Esto constituye la regla de Simpson para determinar el área aproximada bajo una curva contenida en dos fajas de igual ancho.
Si el área bajo una curva entre dos valores de X se divide en n fajas uniformes (n par), la aplicación de la ec. (12) muestra que:

   (13)

Sumando estas áreas, podemos escribir:

  (14)

o bien

   (15)

endonde n es par.

La ec. (15) se llama Regla de Simpson de un Tercio para determinar el área aproximada bajo una curva. Se puede utilizar cuando el área se divide en un número par de fajas de ancho.

Si la función f(X) se puede expresar como una función matemática continua que tiene derivadas continuas f ' a , el error que resulta de aproximar el área verdadera de dos fajas bajo la curvaf(X) comprendida entre Xi-1 y Xi+1 mediante el área bajo una parábola de segundo grado, se demuestra que es:

   (16)

Este error por truncamiento es la cantidad que se debe agregar al área aproximada de dos fajas, que se obtiene mediante la regla de un tercio de Simpson, para obtener el área real bajo la curva en ese intervalo. El término mostrado del error por truncamiento generalmente no sepuede valuar en forma directa. Sin embargo, se puede obtener una buena estimación de su valor para cada intervalo de dos fajas suponiendo que  es suficientemente constante en el intervalo (se supone que las derivadas de orden superior son despreciables) y valuando  para . La estimación del error por truncamiento para toda la integración se obtiene sumando las estimaciones correspondientes a...