Metodo de triangulacion GPS

www.monografias.com

GPS – método de triangulación – solución numérica

1. Introducción
2. Descripción lógica del método
3. Solución
4. Condiciones finales del problema
5. Bibliografía

INTRODUCCIÓN
Para comenzar diré que este articulo lo publico a partir de lo difícil que fue para mi conseguir ayuda sobre la solución numérica al método de triangulación para la ubicación de un puntoconociendo 4 puntos y la distancia respectiva de cada uno de estos puntos al punto buscado.
Acerca del concepto de lo que es un GPS y su funcionamiento hay vasta información en Web pero, quizá me equivoque, no he encontrado una solución concreta para el método de triangulación. Así que no abundare en conceptos acerca del modus operandi de este aparato.
Para hallar la solución numérica puedetomarse varios caminos pero antes de tomar alguno de ellos debemos definir los parámetros de este método.
La triangulación es usada por los GPS’s para la ubicación de un punto en la tierra conociendo la ubicación de 4 satélites (S1, S2, S3, S4) y las respectivas distancias (d1, d2, d3, d4) de los satélites al punto buscado (P0).

DESCRIPCIÓN LOGICA DEL METODO
Paso 1
El GPS envía una señal deradio al primer satélite y este a su vez traza imaginariamente una esfera con centro en las coordenadas de S1 (x1, y1, z1) y radio d1, y supone que el punto se encuentra dentro de esa esfera.
Paso 2
Luego el GPS envía una señal de radio al segundo satélite y este traza una segunda esfera con centro en S2 (x2, y2, z2) y radio d2 y determina que el punto se encuentra dentro del circulo que seforma de la intersección de las esferas S1 y S2.
Paso 3
Luego el GPS hace lo propio con el tercer satélite y este traza una tercera esfera con centro en S3 (x3, y3, z3) y radio d3 la cual, al interceptarla con el circulo ya encontrado nos dará dos posibles puntos como solución
Paso 4
Por ultimo el GPS manda una ultima señal al cuarto Satélite el cual trazara una cuarta esfera desde S4 (x4, y4,z4) y radio d4 de donde se hallara el punto P0 de coordenadas (x0, y0, z0) con lo cual se encontrara así el punto buscado.
Determinación de las distancias d1, d2, d3, d4
Para determinar las distancias del GPS a los 4 satélites se usa una a de las reglas del movimiento rectilíneo uniforme diferencial
di = t * c ± Δ
Donde
t = Diferencia de reloj entre los puntos (tiempo de viaje de la señal)c= Velocidad de las ondas electromagnéticas, en este caso de radio que es la misma que la de la luz(c=299,792.458 m/s).
Δ= Error que se admite ya que la señal no viaja en el vació

SOLUCIÓN
Seguro que jamás te habías preguntado porque en tus cursos de geometría analítica plana y espacial no se había tocado a fondo ejercicios sobre intersección de circunferencias o de esferas, y menos si setrataban de problemas de carácter generalizado, si no los hiciste hasta ahora cuando trates de resolver el problema literalmente como lo he explicado sabrás el porque.
Claro que Lehman nos da una especie de ayuda en su capitulo de circunferencia al hallar la circunferencia que pasa por la intersección de dos circunferencias, claro sin decir exactamente en que puntos se intersecan estas.
Siintentamos resolver el problema tal y como se describe, como primer paso se definiría la ecuación de 4 esferas con centro el S1, S2, S3, S4 y seria así:

E1:
E2:
E3:
E4:

Luego intentaremos interceptar nos encontraremos con la ecuación de una circunferencia con términos en xy, yz, y xz y ya que no sabríamos los ángulos directores de la circunferencia engendrada y si a su vez se intentaseinterceptar esta circunferencia con E3 la cosa se pondría color de hormiga, así que buscaremos una solución más hábil para este problema.
Esta solución la hallaremos con la ayuda de la mano siempre oportuna del álgebra vectorial, así que definamos el escenario.
Primero debemos de conocer ciertos conceptos que nos ayuden a encontrar una relación entre los vectores, lo cual nos permita encontrar...