METODO DEL PUNTO FIJO

Método del punto fijo
El método del punto fijo es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raícesde una función de la forma , siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.
Descripción del Método
El método de iteración de punto fijo, también denominado método de aproximaciónsucesiva, requiere volver a escribir la ecuación  en la forma .
Llamemos  a la raíz de  . Supongamos que existe y es conocida la función  tal que:
   del dominio.
Entonces:



Tenemos, pues,a  como punto fijo de .

Procedimiento
El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de , que es mejorada por iteración hasta alcanzar la convergencia. Para que converja, la derivadadebe ser menor que 1 en magnitud (al menos para los valores x que se encuentran durante las iteraciones). La convergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en de una iteracióna la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequeña cantidad €.
Algoritmo para iteración de punto fijo
1. Se ubica la raíz de  analizando la gráfica.
2. Se obtiene un despeje  de la función.3. Obtenemos de   su derivada .
4. Resolviendo la desigualdad -1 ≤  ≤ 1 obtenemos el rango de valores en los cuales esta el punto fijo llamado R.
5. Con R buscamos la raíz en , es decir   haciendo iteración de las operaciones.

Ejemplos
Ejemplo 1
Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de  , comenzando con   y hasta que   . 
Solución
Como ya aclaramosanteriormente, el método sí converge a la raíz. 
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,

Con un error aproximado de 
Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos,

Y un error aproximado de  .Pasando los datos a una tabla:



Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. En efecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor...