Métodos Iterativos (Punto Fijo, Newton, Bisección)

1

Informe1: M´ todo del punto fijo, M´ todo de e e bisecci´ n, M´ todo de Newton-Raphson o e
Mateo Jimenez Santa Cod. 808022 Jhoan Ricardo Torres Cod. 808046 Hugo Velasco Mu˜ oz Cod. 807554 n ´ ´ METODOS NUMERICOS Universidad Nacional De Colombia - Sede Manizales

I.

´ I NTRODUCCI ON

Los tres m´ todos que estudiamos y damos a conoe cer en el presente informe son m´ todos iterativos,que e tratan de resolver problemas (en este caso una ecuaci´ n), mediante aproximaciones sucesivas a la soluci´ n, o o empezando desde una estimaci´ n lineal. Los m´ todos o e ´ iterativos son muy utiles para resolver problemas que involucren muchas variables, en los cuales un m´ todo e directo resultar´a imposible. En el desarrollo del informe ı se muestran los c´ digos que permiten solucionar loso problemas planteados, ejemplos, ventajas y desventajas a la hora de trabajar con ellos. II. II-A. ´ M ARCO T E ORICO

Con R buscamos la ra´z en g(x), es decir g(R) = R ı haciendo iteraci´ n de las operaciones. o II-B. M´ todo de bisecci´ n e o El M´ todo de biseccion, conocido tambi´ n como de e e corte binario, de partici´ n en dos intervalos iguales o o m´ todo de Bolzano, es un m´ todo deb´ squeda incree e u mental donde el intervalo se divide siempre en dos. Si la funci´ n cambia de signo sobre un intervalo, se o eval´ a el valor de la funci´ n en el punto medio. La u o posici´ n de la ra´z se determina situ´ ndola en el punto o ı a medio del subintervalo dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximaci´ n. o II-C. M´ todo deNewton-Raphson e

M´ todo del punto fijo e El m´ todo de Newton-Raphson es uno de los m´ todos e e num´ ricos m´ s conocidos y poderosos para la resoluci´ n e a o del problema de b´ squeda de ra´ces f (x) = 0. Para u ı arrancar con el m´ todo, necesitamos una funci´ n que e o sea continua, y un punto de arranque. Se est´ buscando a un xr tal que f (xr ) = 0. As´, la derivada de f existe y se puedeevaluar, esta es ı la pendiente de f (x)
df dx Digamos que se tiene un punto [xi , f (xi )] cercano a la ra´z. Se construye una aproximaci´ n a la ra´z usando ı o ı f (x). La derivada en un punto xi f (x) = f (xi + ∆x) − f (xi )) ∆x→0 ∆x Definiendo ∆x como la distancia entre xi y xi+1 f (xi ) = l´ ım xi + ∆x = xi + (xi+1 − xi ) = xi+1

El m´ todo del punto fijo es un m´ todo iterativo que e e permiteresolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar ra´ces de una funci´ n de la forma f(x), siempre ı o y cuando se cumplan los criterios de convergencia. El m´ todo de iteraci´ n del punto fijo, tambi´ n denominado e o e m´ todo de aproximaci´ n sucesiva, requiere volver a e o escribir la ecuaci´ n f (x) = 0 o en la forma x = g(x). o Elprocedimiento empieza con una estimaci´ n o conjeo tura inicial de x, que es mejorada por iteraci´ n hasta o alcanzar la convergencia. Para que ocurra convergencia, la derivada de g(x) debe ser menor que 1 en magnitud (al menos para los valores x que se encuentran durante las iteraciones). El algoritmo utilizado es el siguiente: Se ubica la ra´z de f (x) analizando la gr´ fica. ı a Se obtiene undespeje x = g(x) de la funci´ n. o Obtenemos de x = g(x) su derivada g (x). Resolviendo la desigualdad
−1 < g (x) < 1

As´, la derivada en xi se simplifica a ı
f (xi ) = f (xi+1 ) − f (xi ) xi+1 − xi

obtenemos el rango de valores en los cuales esta el punto fijo llamado R.

2

Escrito de otra forma
f (xi ) = f (xi ) − f (xi+1 ) xi − xi+1

end disp([’n=’,num2str(n)]);disp([’f(x)=’,num2str(p(n))]); disp([’abs(f(x)-x)=’,num2str(err)]); end u=q; tt=linspace(-0.2,6,1000); xx=double(subs(x)); x=double(subs(pp)); y=double(subs(ppp)); if(xx>1) ezplot(fun) setcurve(’color’,’blue’) axis([0 3 0 9]) hold on ezplot(u) setcurve(’color’,’red’) axis([0 3 0 9]) hold on plot(x,y,’k’) plot(tt,0,’g’) title(’Diagrama divergente’) xlabel(’x1’) ylabel(’x2’) else ezplot(fun) setcurve(’color’,’blue’)...