Metodo Eluler

Inicialmente se resuelve aplicando el método de Euler hacia delante, para un h = 0.2, n = 5, se tiene:

Si se compara con la solución exacta se tiene que el error absoluto es e1 − Y (1) = 0.23, εabs = 0.23 Ahora si se considera un paso de integración más pequeño, h = 0.02, el error se reduce = 0.0267 εabs.

El error resulta ser: = 0.0267 εabs. El trazado del error absoluto para un númerosuperior de sub-intervalos se muestra en la Figura 1.

Figura 1. Comparación del error absoluto con el método de Euler, medido a lasolución analítica, para n = {5, 50, 500, 2500, 5000}

MÉTODO DE HEUN
Un método para mejorar la estimación de la pendiente involucra la determinación y promediado de dos derivadas para el intervalo (una en el punto inicial y otra en el punto final).
En el métodode Euler, la pendiente al inicio del intervalo se usa para extrapolar linealmente a yi+1.
En el método de Heun la pendiente calculada en la estimación previa no es para la respuesta final, sino para una predicción intermedia. Esta ecuación es llamada predictor. Mejora una estimación de yi+1 que permite el cálculo de una estimación de la pendiente al final del intervalo.
y'i + 1 = f(xi + 1}, y0i + 1 )
Aquí, y0i+1 es el predictor, y es la misma ecuación de Euler para encontrar yi+1. Ésta nos sirve para calcular la pendiente y'i+1.
Las dos pendientes se promedian en el intervalo:

Esta pendiente promedio se utiliza para extrapolar linealmente desde yi hasta yi+1 usando el método de Euler.

Esta ecuación es conocida como ecuación corrector. El método de Heun es un procedimientopredictor – corrector.
Se puede conseguir una mejor precisión en el resultado si hacemos varios procesos correctores, esto lo logramos tomando yi+1 y reemplazándolo por y0i+1 en la ecuación y así encontrar un nuevo yi+1, y se repite el proceso hasta donde se desee.



MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE 4TO ORDEN
Se procede a la solución por el método de Runge-Kutta de 4toorden, con varios pasos deintegración, los resultados se muestran en la Tabla V, y en la Figura 3 se ha graficado el error absoluto, medido desde la solución exacta.


Figura 3. Comparación del error absoluto con el método de Runge-Kutta de 4to, medido a la solución analítica, para n = {5, 50, 500, 2500, 5000}
El error absoluto para n = 5 resulta = 1.8175×10−5 εabs , el cual es el menor error comparado con los métodode Euler y Runge-Kutta de menor orden.

MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN
Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como «RK4» o como «el método Runge-Kutta».
Definiendo un problema de valor inicial como:

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

Donde:

Así, el siguiente valor(yn+1) es determinado por el presente valor (yn) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, donde  es la pendiente al principio del intervalo,  es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando  para determinar el valor de y en el punto  usando el método de Euler.  es otra vez la pendiente del punto medio, peroahora usando  para determinar el valor de y;  es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por . Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de , mientras que el error total acumulado tiene el orden . Porlo tanto, la convergencia del método es del orden de, razón por la cual es usado en los métodos computaciones.

ECUACIONES DIFERENCIALES CON VALOR INICIAL
Una ecuación diferencial es una ecuación cuya incógnita es una función y en la que aparecen algunas derivadas de esa función. Si la función que interviene tiene sólo una variable independiente, la ecuación se llama ecuación diferencial...