Metodos cuantitativos lagrange

M´todo lagrangiano. En el m´todo de Jacobi, sea que el vector Λ represente los e e coeficientes de sensibilidad; esto es Λ= Entonces, ∂f − Λ∂g = 0 Esta ecuaci´n satisface las condiciones necesarias para puntos estacionarios, porque o ∂f /∂g se calcula de tal modo que c f = 0. Una forma m´s c´moda de presentar a o estas ecuaciones es tomar sus derivadas parciales con respecto a todas las xj . Coneso se obtiene ∂ (f − Λg) = 0, j = 1, 2, . . . , n. ∂xj Las ecuaciones obtenidas, junto con las ecuaciones de restricci´n g(X) = 0, dan como o resultado los valores factibles de X y Λ que satisfacen las condiciones necesarias para puntos estacionarios. Este procedimiento define al m´todo lagrangiano, o de Lagrange, para identificar los e puntos estacionarios de problemas de optimizaci´n conrestricciones de igualdad. El o procedimiento se puede desarrollar formalmente como sigue. Sea L(X, Λ) = f (X) − Λg(X) A la funci´n L se le llama funci´n de Lagrange, y a los par´metros Λ se les llama o o a multiplicadores de Lagrange. Por definici´n, esos multiplicadores tienen la misma o interpretaci´n que los coeficientes de sensibilidad del m´todo jacobiano. Las ecuaciones o e ∂L ∂L = 0, =0 ∂Λ ∂Xexpresan las condiciones necesarias para determinar los puntos estacionarios de f (X) sujetos a g(X) = 0. Las condiciones de suficiencia para el m´todo de Lagrange se e enunciar´n sin demostraci´n. Se define a o HB = en donde 0 PT P Q
Y0 J −1

=

∂f ∂g

(m+n)×(m+n)

  P=

 g1 (X) ∂ 2 L(X, Λ)  . . ,Q=  . ∂xi ∂xj gm (X) m×n

n×n

La matriz HB es la matriz hessiana de frontera o acotada.Dado el punto estacionario (X0 , Λ0 ) de la funci´n lagrangiana L(X, Λ) y la matriz o hessiana de frontera HB evaluada en (X0 , Λ0 ), entonces X0 es 1

1. Un punto m´ximo si, comenzando con el determinante principal mayor de orden a (2m + 1), los ultimos (n − m) determinantes menores de HB forman una pauta ´ de signos alternativos con (−1)m+1 . 2. Un punto m´ ınimo si, comenzando con eldeterminante menor principal de orden (2m + 1), los ultimos (n − m) determinantes menores principales de HB tienen ´ el signo (−1)m . Estas condiciones son suficientes, pero no necesarias, para identificar un punto extremo. Esto quiere decir que un punto estacionario puede ser un punto extremo sin satisfacer esas condiciones. Existen otras condiciones que son necesarias y suficientes al mismo tiempo, paraidentificar puntos extremos. Sin embargo, el procedimiento puede ser computacionalmente inmanejable. Se define la siguiente matriz en el punto estacionario (X0 , Λ0 ): ∆= 0 PT P Q − µI

donde µ es un par´metro desconocido. Se considera el determinante |∆|; entonces, a cada una de las (n − m) ra´ ıces reales µ del polinomio |∆| = 0 debe ser 1. Negativa si X0 es un punto m´ximo. a 2. Positiva si X0es un punto m´ ınimo. Ejemplo 20.2-4 Para el problema del ejemplo 20.2-2, la funci´n de Lagrange es o L(X, Λ) = x2 + x2 + x2 − λ1 (x1 + x2 + 3x3 − 2) − λ2 (5x1 + 2x2 + x3 − 5) 1 2 3 Esto produce las siguientes condiciones necesarias: ∂L ∂x1 ∂L ∂x2 ∂L ∂x3 ∂L ∂λ1 ∂L ∂λ2 = = = 2x1 − λ1 − 5λ2 = 0 2x2 − λ1 − 2λ2 = 0 2x3 − 3λ1 − λ2 = 0

= −(x1 + x2 + 3x3 − 2) = 0 = −(5x1 + 2x2 + x3 − 5) = 0 2

Lasoluci´n de esas ecuaciones simult´neas es o a X0 = (x1 , x2 , x3 ) = (0.8043, 0.3478, 0.2826), Λ = (λ1 , λ2 ) = (0.0870, 0.3043) En esta soluci´n se combinan los resultados de los ejemplos 20.2-2 y 20.2-3. Los valo ores de los multiplicadores de Lagrange Λ son iguales a los coeficientes de sensibilidad obtenidos en el ejemplo 20.2-3 (salvo errores de redondeo). El resultado demuestra que esoscoeficientes son independientes de la elecci´n de Y, el vector dependiente en o el m´todo jacobiano. e Para demostrar que este punto es un m´ ınimo, consid´rese e   0 0 1 1 3  0 0 5 2 1    B H = 1 5 2 0 0     1 2 0 2 0  3 1 0 0 2 Como n = 3 y m = 2, n − m = 1 y se debe comprobar s´lo el determinante de HB , o que debe tener el signo de (−1)2 para que el punto estacionario X0 sea un m´...