Metodos numericos

CERRO AZUL, VER; NOVIEMBRE DEL 2010

UNIDAD 5: INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN
5.1 Diferencias finitas
INTRODUCCION
El método de diferencias finitas es un clásica aproximación para encontrar la solución numérica de las ecuaciones que gobiernan el modelo matemático de un sistema continuo. Es valioso familiarizarse con ésta aproximación porque tal conocimiento reforzará la comprensión de losprocedimientos de elementos finitos.
Básicamente, en una solución por diferencias finitas, las derivadas son reemplazadas por aproximaciones en diferencias finitas, convirtiendo entonces un problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico fácilmente resoluble por medios comunes (especialmente matriciales).
METODO DE EXPANSION DE TAYLOR
El método de expansión de Taylor es una formaalternativa de obtener aproximaciones de diferencia. Este método no solo deduce las fórmulas de diferencia sistemáticamente, sino que también deduce los términos de error.
Para una derivada de p-ésimo orden, el número mínimo de puntos de datos requeridos para deducir una aproximación de diferencia es , así por ejemplo una aproximación de diferencia para la primera derivada de una función necesitapor lo menos de dos puntos de datos. Consideremos la deducción de la aproximación de diferencia para en términos de . La expansión de Taylor de alrededor de es
(1). Resolviendo la ecuación anterior para la primera derivada, tenemos
(2). Si ignoramos todos los términos con excepción del primero del miembro derecho de la ecuación (2), obtendremos la aproximación por diferencia haciaadelante. Los términos que se ignoran constituyen el error de truncado, representado por el término inicial, . Los demás términos desaparecen más rápidamente que el inicial cuando disminuye. La aproximación de diferencia hacia adelante, con el error de truncado incluido, se expresa como
(3), dónde . El término indica que el error es aproximadamente proporcional al intervalo de la retícula . El errortambién es proporcional a la segunda derivada .
De la misma manera podemos expandir alrededor de en la forma
(4), y resolviendo nuevamente para la primera derivada, tenemos y aquí de la misma manera
(5), dónde . Esta aproximación se denomina de diferencia hacia atrás.
Tomemos ahora ambas aproximaciones y restemos (4) de (1):

(6), expresión de la cual se ha eliminado el término .Resolviendo para , obtenemos
(7). Con el término de error incluido, la aproximación de diferencia central se expresa como
(8), dónde .
Resulta interesante observar que gracias a la cancelación del término , el error de la aproximación es proporcional al cuadrado de y no a . Entonces, reduciendo
reducimos el error con mayor rapidez que con las otras aproximaciones.
Como ya se expuso, unaaproximación de diferencia de requiere al menos
puntos de datos. Aumentando el número de puntos de datos puede obtenerse una aproximación de diferencia más exacta.
Como ilustración de lo anterior, deduciremos una aproximación de diferencia para la primera derivada utilizando tres puntos de datos , de modo que tenemos un punto más del mínimo requerido. Las expansiones para se escriben:

(9).(10). Con éstas dos ecuaciones es posible cancelar los términos de la segunda derivada, de modo que el término inicial de los errores de truncado es el término de la derivada de tercer orden. Por otro lado, si se eliminaran los términos de la tercera derivada de las ecuaciones (9) y (10) en lugar de los de la segunda derivada, la aproximación de diferencia obtenida sería menos exacta porque el términodel error inicial sería de segundo orden en lugar de ser de tercer orden.
Multiplicado la (9) por 4 y restándole la (10), obtenemos

(11). Resolviendo para :

(12), dónde el término de error está dado por . La (12) es la aproximación de diferencia hacia adelante de tres puntos. Su error es del mismo orden que el de la aproximación por diferencia central de dos puntos.
Análogamente, la...