Metodos numericos

1- SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE
2.1- MÉTODOS PARA DETERMINAR APROXIMACIONES INICIALES
Una aproximación inicial es un conjunto de valores que son cercanos a la solución esperada, estos datos están incluidos en los datos iniciales a la hora de resolver un algoritmo.
Las condiciones del problema.
Las condiciones previas, en la fase de modelado del problema que se va aresolver, pueden brindar información sobre las aproximaciones iniciales sin necesidad de recurrir a los procesos adicionales.
La grafica de la función asociada a la ecuación.
Esta nos permite observar, analizar y deducir, el comportamiento de la función problema además, nos permite deducir aproximaciones iniciales.

2.1.1- Búsquedas incrementales

En este método el objetivo es buscar unintervalo que contenga al menos una raíz. Basándose en el teorema del valor medio.
* Pseudocódigo.
DATOS | SALIDA | PROCESO |
¿Qué tengo? | ¿Qué me piden? | ¿Cómo lo hago? |
Valor inicial | Intervalo | Cambio de signo |
Incremento | Raíz | Y0 = f(x0) ; Y0=0 |
Iteraciones | fracaso | Fracaso |

INICIO
Lee X0, delta, intervalo
Y0 = F(X0)
Si Y0 = 0 entonces muestreX0 “es una raíz”
Si no
X1 = X0 + delta
Y1 = f(x1)
cont = 1
Mientras que (Y0 * Y1) > 0 Y cont < interacciones
X0 = X1
Y 0 = X1
X1 = X0 + delta
Y1 = f(x1)
cont = cont + 1
FIN MIENTRAS QUE
Si Y1 = 0 entonces
Muestreque es raíz
Si no
Si (Y0 * Y1) < 0 entonces
Muestre X0, X1 forman intervalo
Si no
Muestre fracaso en iteraciones
FIN SI
FIN SI
FIN SI
FIN

* Algoritmo MATlab.

%Metodo de Busquedas Incrementales
clc
clear
X0=input('Introduzca el Valor Inicial a analizar: ');
Delta=input('Introduzcael delta para las x a analizar: ');
Iteraciones=input('Introduzca el numero de Iteraciones que desea realizar: ');
Y0=f(X0);
Tabla(1,1)=0;
Tabla(1,2)=X0;
Tabla(1,3)=Y0;
if Y0==0
fprintf('%f es una raiz \n', X0)
else
X1=X0+Delta;
Y1=f(X1);
Contador=1;
Tabla(Contador+1,1)=Contador;
Tabla(Contador+1,2)=X1;
Tabla(Contador+1,3)=Y1;
while((Y0*Y1>0)&&(Contador<Iteraciones))
X0=X1;
Y0=Y1;
X1=X0+Delta;
Y1=f(X1);
Contador=Contador+1;
Tabla(Contador+1,1)=Contador;
Tabla(Contador+1,2)=X1;
Tabla(Contador+1,3)=Y1;
end
if Y1==0
fprintf('%f es una raiz \n', X1)
else
if Y0*Y1<0
fprintf('%f y %f forman intervalo que contieneuna raiz \n',X0, X1)
else
fprintf('Fracaso en las %f iteraciones \n', Iteraciones)
end
end
end
disp('Iteraciones x f(x)')
disp(Tabla)

2.2- MÉTODOS POR INTERVALOS O CERRADOS

Estos métodos para su ejecución es necesario tener un intervalo que contenga mínimo una raíz, y a medida que el método avanza este intervalo disminuye,manteniendo la raíz.

2.2.1- Método de la Bisección

Este método consiste en tomar el intervalo encontrado y dividirlo en dos subintervalos, de esta forma hallamos un punto medio (X medio= (X superior + X inferior) /2); que se evalúa en la función hasta que esta sea próxima a cero.

* Pseudocódigo.
DATOS | SALIDA | PROCESO |
¿Qué tengo? | ¿Qué me piden? | ¿Cómo lo hago? |
XI, XS | Raíz |F(X medio) = 0 |
Tolerancia | Raíz | E<Tolerancia |
iteraciones | Fracaso | Iteraciones superadas |

INICIO
Lee Xi, Xs, iteraciones, tolerancia
Yi = f (Xi)
Ys = f (Xs)
Si Xi=0
entonces muestre Xi es una raíz
Sino
Si Xs=0
entonces muestre Xs es una raíz
Sino
Si (Xi*Xs) < 0
Xmed= (Xi+Xs)/2...