METODOS NUMERICOS

SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES

Sean

A=[■(1-a&1@1&1+a)]a>0b=[■(1-a@1)]

Resolver el sistema utilizando el método de Gauss con pivote parcial.
Solución:
El sistema de ecuaciones obtenidoes;

(1-a) x_1+x_2=1-a
x_1+(1+a) x_2=1

Con este sistema de ecuaciones creamos la matriz aumentada;

[■(1-a&1@1&1+a) ■(1-a@1)]

[■((1-a)+(-1+a)&1-1+a^2@1&1+a)■( 0@ 1)][■(0&a^2@1&1+a)■( 0@ 1)]

Con los resultados obtenidos encontramos x_1,x_2

x_2 a^2=0
x_2=0/a^2
x_2=0


1x_1+(1+a) x_2=1
1x_1+0=1
x_1=1/1=1

Sea Ax ̂=b ̂ con b ̂= (1,1) t calcular elerror relativo y el residual relativo en la norma del máximo usando x ̂ como solución aproximada de x ̂. Que se puede decir del número de condición de A para valores de a muy pequeños y para valoresde a muy grandes.
Obtener A-1 .calcular el número de condición de A en la norma del máximo y analizar si se obtienen resultados coherentes con las deducciones del apartado anterior.

2. Considereel sistema linealAx=b donde

A=[■(2&∝&-1@∝&2&1@-1&1&4)]

Determine para que valores de∝ ∈R.La matriz es simétrica definida positiva.

Solución:
Una matriz es simétrica definida positiva sicumple una de estas dos condiciones:
A es simétrica A=AT
x^T Ax>0 ∀xϵR^n,x≠0

A=[■(2&∝&-1@∝&2&1@-1&1&4)]
Entonces cambiando filas por columnas tenemos que:A^T=[■(2&∝&-1@∝&2&1@-1&1&4)]
Por lo tanto; si reemplazamos ∝ por cualquier valor seguimos cumpliendo la afirmación de ser simétrica definida positiva cuando A es simétrica A=AT , entonces los valores se encuentran en ∝(-∞,∞)Si hacemos ∝=0 se requiere solucionar el sistemaAx=b . ¿Cual factorización utilizaría usted? Justifique su respuesta y realice la factorización.

Solución:
Para solucionar este sistema usamos elmétodo de Factorización de Cholesky.
Primero comprobamos que sea una matriz simétrica, y sea un a una matriz definida positiva, para poder aplicar este método;

Podemos observar que es...