Metodos numericos

DP. - AS - 5119 – 2007

Matemáticas

ISSN: 1988 - 379X

APLICACIÓN DE DERIVADAS:
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN CON 2 VARIABLES.
PROBLEMAS
VARIABLES
003

Descompón el número 9 en dos sumandos x e y, tales que la suma x2 + 6y sea
mínima.

2B

RESOLUCIÓN MEDIANTE EL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES A TRAVÉS DE DERIVADAS
DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS

x ≡ "Primer número buscado"
y ≡ "Segundonúmero buscado"
FUNCIÓN A OPTIMIZAR

A(x, y) = x2 + 6y
Vamos a colocar la función a optimizar en función de una sola variable, para lo que nos auxiliamos
de uno de los datos del problema:
x+y=9

→ y=9-x

A(x) = x2 + 6(9 - x)
A(x) = x2 + 54 - 6x
CONDICIONES PARA QUE EXISTA UN MÍNIMO

(a) Para que exista un mínimo A'(x) = 0
Para que A(x) sea un valor mínimo, la primera condiciónserá:
A'(x) = 0
A'(x) = 2x - 6 = 0
2x = 6

x=3

¿máximo o mínimo?
(b) Para que exista un mínimo A''(x) > 0
A''(x) = 2 > 0 → Mínimo
DETERMINACIÓN DEL VALOR DEL RESTO DE INCÓGNITAS

y=9-x → y=9-x
y=9-3=6
x=3

→

y=6

SOLUCIÓN Y ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS

Los 2 números que verifican que la condición del enunciado sea mínima son el 3 y el 6.
004

Determina dos números cuyasuma sea 24 y tales que el producto del uno por el
cubo del otro sea máximo. Razonar el método utilizado.

2B

RESOLUCIÓN MEDIANTE EL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES A TRAVÉS DE DERIVADAS
DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS

x ≡ "Primer número buscado"
y ≡ "Segundo número buscado"
FUNCIÓN A OPTIMIZAR

A(x, y) = x · y3
Vamos a colocar la función a optimizar en función de una sola variable, para loque nos auxiliamos
de uno de los datos del problema:
x + y = 24

→ x = 24 - y

A(y) = (24 - y) · y3
A(y) = 24y3- y4
CONDICIONES PARA QUE EXISTA UN MÁXIMO

(a) Para que exista un máximo A'(y) = 0
A'(y) = 72y2- 4y3 = 0
4y2·(18 - y) = 0
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1

© Abel Martín
y1 = 0

¿máximo o mínimo?

y2 = 18 ¿máximo o mínimo?

(b) Para que exista un máximo A''(y) < 0A''(y) = 144y - 12y2
A''(0) = 144·0 - 12·02 = 0
A''(18) = 144·18 - 12·182 = 2592 - 3888 = - 1296 < 0 → Máximo
y = 18
DETERMINACIÓN DEL VALOR DEL RESTO DE INCÓGNITAS

x = 24 - y = 24 - 18
x=6
SOLUCIÓN Y ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS

Los 2 números que verifican que la condición del enunciado sea máxima son el 6 y el 18.
009

Si tenemos una cuerda de 100 cm de larga, ¿cuáles seríanlas dimensiones del
rectángulo para que tenga área máxima?

2B

RESOLUCIÓN MEDIANTE EL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES A TRAVÉS DE DERIVADAS
DETERMINACIÓN DE VARIABLES

x: longitud, en cm, de la base.

y

y: longitud, en cm, de la altura.

x

FUNCIÓN A OPTIMIZAR

A(x, y) = x · y
Vamos a colocar la función a optimizar en función de una sola variable, para lo que nos auxiliamos
de unode los datos del problema:
→ 2x = 100 - 2y

2x + 2y = 100

x = 50 - y
A(y) = (50 - y) · y
A(y) = 50y - y2
CONDICIONES PARA QUE EXISTA UN MÁXIMO

(a) Para que exista un máximo A'(y) = 0
A'(y) = 50 - 2y = 0
- 2y = - 50

→ 2y = 50

y = 25 ¿máximo o mínimo?
(b) Para que exista un máximo A''(y) < 0
A''(y) = - 2 < 0

Máximo
y = 25

DETERMINACIÓN DEL VALOR DEL RESTO DE INCÓGNITASx = 50 - y = 50 - 25 = 25
x = 25
SOLUCIÓN Y ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS

Las dimensiones para que tenga área máxima serán las que formen un cuadrado de 25 cm de
lado.

014

Halla las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma
de ortoedro sabiendo que el volumen ha de ser de 9 m3, su altura de 1 m y el coste
de construcción por m2 es de 30 euros parala base, 35 euros para la tapa y 20 euros
para cada pared lateral.

RESOLUCIÓN MEDIANTE EL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES A TRAVÉS DE DERIVADAS

2

Aplliicaciión de deriivadas::probllemas de opttiimiizaciión con 2 variiablles..
Ap cac ón de der vadas prob emas de op m zac ón con 2 var ab es

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