Metodos numericos

Capitulo 3
Sistemas Lineales (det(A)≠0)
▪ Metodos directos
1. Metodo de Gauss con Pivoteo
a)Pivoteo (Minimiza Errores)
Se toma que en la diagonal se encuentre el mas grande en valor absoluto decada columna.
b)Triangularizacion
Se van anulando los valores de la columna por debajo de la diagonal.
c)Sust. Regresiva
Se van obteniendo los valores de X tales que vamos realizando sustitucionesde abajo hacia arriba.
EDD→Estrictamente Dominante Diagonalmente (∀i:abs(aij)>∑(abs(aij),j,(1,j≠i),n)
Rapidez del metodo de gauss
Es proporcional a n^(3) para sistemas con muchas ecuacioens.
Ej.Si para 10 ecuaciones se toma 1 s. Para 100 ecuaciones se tiene 100^(3)=10^(3)*10^(3)=1000 s
2.Metodo de Thomas (Caso Particular)
Sistemas tridiagonales, solo se reduce la diagonal a, sin necesidadde pivoteo y se procede a la sust. regresiva.
3.Metodo de factorizacion LU
Se procede a calcular las matrices L y U tales que L*U=A, con la diagonal de L puros unos.
Ej.L=[[1,0,0][L(2,1),1,0][L(3,1),L(3,2),1]], U=[[U(1,1),U(1,2),U(1,3)][0,U(2,2),U(2,3)][0,0,U(3,3)]]
Se procede a resolver el siguiente sistemas de ecuaciones en el mismo orden y se procede a hacer la sustitucion adecuada a cadapaso.
1)L*y=b (Sust. Progresiva)
2)U*x=y (Sust. Regresiva)
▪ Metodos Iterativos
1.Metodo de Gauss-Jacobi
Se realiza una tranformacion tal que tenemos Ax=b→x=Cx+Dsystem(a(1,1)x1+a(1,2)x2+a(1,3)x3=b1,a(2,1)x1+a(2,2)x2+a(2,3)x3=b2,a(3,1)x1+a(3,2)x2+a(3,3)x3=b3)→system(x1=((-a(1,2)x2-a(1,3)x3+b1)/(a(1,1))),x2=((-a(2,1)x1-a(2,3)x3+b2)/(a(2,2))),x3=((-a(3,1)x1-a(3,2)x2+b3)/(a(3,3))))
Se realizala siguiente iteracion
x^((k+1))=C*x^((k)), para k≥0 con x^((0))=[[0][0][0]]
2.Metodo de Gauss-Seidel
Se utiliza para acelerara la convergencia, se encuentra los valores de x de arriba haciaabajo. Se utiliza los x's ya encontrados para obtener los siguientes.
x^((k+1))=[[x1^((k+1))][x2^((k+1))][x3^((k+1))]]
Criterios de convergencia
Se da la siguiente condicion sufuciente pero no...