Metodos Numericos

RESPUESTA 1

ra= r0.erc.1r0-1ra (I)
Donde:
ra= radio de aislante (cm)
ro= radio de la tubería (cm)
rc= radio critico de aislante (cm)

Normalización de la ecuación
f (r) = r0.erc.1r0-1ra - ra (II)

Para el material A:
Realizando una búsqueda incremental, se tiene:
Tabla 1. Búsqueda incremental para el encuadramiento de la ecuación II.
RL | RR | ∆R | Cambio de signo en: || | | RL | RR |
3 | 10 | 1 | 7 | 8 |
7 | 8 | 0.1 | 7.3 | 7.4 |
Donde:
RL : limite inferior del intervalo de encuadramiento
RR : limite superior del intervalo de encuadramiento
∆R : variación del paso en la evaluación de la función

Cálculos típicos:
1. Se procede a evaluar la función f (r) en los valores obtenidos según la tabla 1.
RL(7.3)= 0.057968049
RR(7.4)= -0.009091392. Se procede a obtener el valor de R´ haciendo uso de la siguiente ecuación:

R´=RL* fRR- RR* fRL fRR- fRL (III)

Donde:
fRR: función evaluada en ese punto
fRL: función evaluada en ese punto
Para el intervalo de encuadramiento inicial, se tiene:
R´=7.3 *-0.00909139 – 7.4 *(0.057968049) -0.00909139 – (0.057968049) = 7.38644278 cm
3. Se verifica si se cumple que:
fRR*fRL <0
Comose cumple la condición, entonces los intervalos del encuadramiento cambian y serán:
RL= RL1 y RR= R´R
4. Se procede a realizar los cálculos hasta obtener un valor de tolerancia mínima del 1*10-6.
El cálculo de la tolerancia será:

tolerancia=tol= R´i- R´(i-1) R´i (IV)
Tabla 2. Tabla de resultados del radio aislante para el material A.
N° ite | RL | RR | R´ | f(RL) | f(RR) | f(R´) | Tol |
1 | 7.3 | 7.4 | 7.38644278 | 0.057968049 | -0.00909139 | 0.00004372 | --- |
2 | 7.38644279 | 7.4 | 7.38650767 | 0.00004372178 | -0.00909139 | 0.00000003 | 8.852898*10'-3 |
3 | 7.38650767 | 7.4 | 7.38650772 | 0.000004372178 | -0.00909139 | 0.00000000 | 6.769098*10'-9 |
4 | 7.38650772 | 7.4 | 7.38650772 | 0.00000000 | -0.00909139 | 0.00000000 | 0.00000000 |

Entonces el radiomínimo para el material A por el método de Regula Falsi será de 7.38650772 cm.
Para el material B:
Cálculos típicos:
1. Se procede a evaluar la función f (r) en los valores del intervalo escogido el cual será 2.8≤ S ≤ 2.84
R0(2.8)= 0.01594664
R1(2.84)= -0.0025578869
2. Se procede a obtener el valor de f´R1 haciendo uso de la siguiente ecuación:
f´R1= fR1- fR0 R1- R0 (V)
Donde:fRR: función evaluada en ese punto
fRL: función evaluada en ese punto
Para el intervalo inicial, se tiene:
f´R1=-0.0025578869-0.01594664 2.84 – 2.8 = -0.4626131725 cm
3. Se procede con el cálculo de la raíz que satisface la ecuación.
R2 =R1- fR1 f´R1 (VI)
R2 =2.84--0.0025578869 -0.4626131725 = 2.8393685176 cm
Se procede a realizar los cálculos hasta obtener un valor de toleranciamínima del 1*10-6.
El cálculo de la tolerancia será:

tolerancia=tol= R´i- R´(i-1) R´i (VII)
Tabla 3. Tabla de resultados del radio aislante para el material B.
N° ite | R(i-1) | R(i) | f(i-1) | f(i) | R(i+1) | Tol |
1 | 2.8 | 2.84 | 0.01594664 | -0.0024578869 | 2.8393685176 | --- |
2 | 2.84 | 2.8393685 | -0.000255789 | 0.00000367236 | 2.83937745548 | 1.33598641*10-6 |

Entonces elradio mínimo para el material B por el método de la secante será de 2.839377455482 cm.
Es más conveniente utilizar el material B pues este posee un radio de aislante de 2.83937745548 cm, mientras que el del material A es de 7.38650772 cm, lo cual minimiza los costos para su construcción, el método más conveniente a utilizar es el de Regula Falsi, puesto que el valor obtenido es precisamente unaraíz de la ecuación.
RESPUESTA 2

Gs=Kc*(s2+3s+1401525)s+1*s+0.5*(s2+4s-32) (VIII)
Donde:
G(s)= es el tiempo de estabilización del sistema (min)
Kc= es la constante de respuesta del controlador del sistema
S= es el tiempo muerto del sistema (s)
Simplificando se tiene:

Ecuación normalizada:
4s4+22s3-102.s2-184.s-66.8305=0 (IX)

Realizando una búsqueda incremental, se tiene:
Tabla...