Metodos Numericos

Aproximar π con 14 cifras decimales de precisión

F(x) = arctg(x)

Usaremos la serie de Taylor para encontrar la solución del arctg(x).

n=14

F(x) = f(x0) + (f'(xo))/(1! )(x- x0) +(f''(xo))/(2! )(x- x0)2 + (f'''(xo))/(3! )(x- x0)3 + ……………. + (f14(xo))/(14! )(x- x0)14

F(x) = arctg(x) x0 = 0f (0) = 0;

F’(x) = 1/(1+x^2 ) f’ (0) = 1;

F’’(x) = (-2x)/〖(1+x^2)〗^2f’’ (0) = 0;

F’’’(x) = (-2)/〖(1+x^2)〗^2 + (8x^2)/〖(1+x^2)〗^3f’’’ (0) = -2;

F4(x) = 8x/〖(1+x^2)〗^3 + 16x/〖(1+x^2)〗^3 - (48x^3)/〖(1+x^2)〗^2 f4 (0) = 0;F5(x) = 8/〖(1+x^2)〗^3 - (48x^2)/〖(1+x^2)〗^4 + 16/〖(1+x^2)〗^3 - (96x^3)/〖(1+x^2)〗^4 -(144x^2)/〖(1+x^2)〗^6 + (576x^4)/〖(1+x^2)〗^7 f5 (0) = 24;

F6(0) = 0;F7 (0) = -720;

Por lo que notamos q cada derivada de orden par es cero i q la serie tiene la siguiente forma:

Fn(x) = (n-1)!

= 1, -2, 24, -720…..

=0!, -2!, 4!, -6!.....

Por lo tanto completando la serie tendremos

= 0!, -2!, 4!, - 6!, 8!, -10! 12!

Termina en 12! Por q es de f13(x) ya que la derivada f14(x) = 0

Por lo tanto tendremos en la...