metodos numericos

1. Estudie el Método de minimos cuadrados para el ajuste de curvas en base a datos experimentales.
En la ciencia y la ingeniería se da, a menudo, el caso de que un experimento produce un conjuntode datos (x1,y2), (x2,y2), ..., (xn,yn). El objetivo en esta sección es determinar una fórmula y = ƒ(x) que relacione las variables. Generalmente se dispone de un conjunto de variables previamenteestablecidas, y lo que hay que hallar son los valores más adecuados de unos coeficientes o de unos parámetros para estas fórmulas. Aunque existen muchas funciones que se pueden usar, suele ocurrir queexiste un modelo matemático subyacente, basado en la situación física que se esté estudiando y determina la forma de la función salvo algunos coeficientes.
Si la relación entre xi e yi para 1 i n, eslineal, entonces la función que mejor se ajusta a los datos es una línea de aproximación de la forma:
y = ax + b (ver figura 3.5)
Una forma para encontrar la recta “óptima” es el método de losmínimos cuadrados y consiste en hallar el valor de las constantes a y b de tal manera que reduzcan al mínimo la suma de los cuadrados de los errores entre los valores yi dados y los valores y(xi) = axi + ben la línea de aproximación.
(7)

La cantidad (7) se puede considerar una función de dos “variables” a y b, a la que se le quiere hallar un mínimo. Para que ocurra un mínimo es necesario que lasderivadas parciales sean cero. Observe que las xi e yi son puntos de datos.

Al dividir entre –2 cada una de estas ecuaciones y desarrollar las sumatorias se obtienen las llamadas ecuacionesnormales
(2)
La solución del sistema (2), de dos ecuaciones con dos incógnitas es
(3)

Por lo tanto la recta que mejor se ajusta a los datos (xi, yi), 1 i n relacionados en forma lineal es y = ax +b con a y b dados por (3).
El problema de aproximar un conjunto de datos (xi, yi), 1 i n con un polinomio algebraico Pm(x) de grado m < n – 1 mediante el procedimiento de mínimos cuadrados, es...